معکوس $y=x^3+3x-1$

Question

معکوس تابع $y=x^3+3x-1$ را بدست آورید.

Answer 1

برای حل $y=x^3+3x-1$ ابتدا $y$ را به طرف دیگر میبریم تا پیدا کردن معکوس برابر پیدا کردن ریشه ی معادله ی $0=x^3+3x-(1+y)$ شود .

برای حل معادلاتی بصورت کلی $x^3+Ax =B$ قرار میدهیم $A=3st$ و$B=s^3- t^3$، جواب چنین معادلاتی برابر $x=s-t$ میشود لذا کافیست $s$و$t$ را بدست آوریم.

در معادله ی سوال $A=3$و$B=1+y$. برای حل از معادله ی اول $s$ را برحسب $t$ می یابیم و در معادله ی دوم جایگذاری میکنیم. یعنی $s= \frac{1}{t}$ را در معادله$B=s^3- t^3$ جایگذاری میکنیم پس داریم: $$1+y=(\frac{1}{t} )^3- t^3 \Rightarrow t^6+(1+y)t^3 -1=0$$ با تغییر متغییر $u=t^3$ معادله ی درجه دوم زیر را داریم که جوابهای آن را از روش دلتا می یابیم. $$u^2 +(1+y)u-1=0$$ $$t^3=u= \frac{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }{2} \Rightarrow t= \sqrt[3]{\frac{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }{2} }$$ $$s= \frac{1}{t}=\sqrt[3]{\frac{2}{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} } }= \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }}$$ پس جواب بصورت زیر است: $$x=s-t= \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }} - \frac{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4}}}{\sqrt[3]{2 }}$$

Comments

ممنون از پی گیریتون.
میشه،  ی منبع برای حل چنین معادلاتی معرفی کنید.
یکم گنگی حس کردم تو جواب

---

فقط اینکه برای پیدا کردن معکوس توابع درجه $3$ اونها رو به حل معادلات درجه $3$ تبدیل میکنیم و روشهای حل برای این نوع معادلات زیاد است میتونید عبارت$Cubic Formula$ را سرچ کنید.

---

البته اگر جواب فقط براتون مهمه میتونید به آدرس زیر مراجعه کنید و همانند نمونه ای که بهش دادم معکوس توابع خود را بیابید.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+of+x^3%2B3x-1

---

اگر هم دوست داشتید بفرمایید کجای مطلب بنظرتون گنگه تا بیشتر توضیح بدم.

---

باسلام چرا در روش دلتا از جمع bودلتا استفاده کردید و از تفریق bودلتا استفاده نکردید