برای حل $y=x^3+3x-1$ ابتدا $y $ را به طرف دیگر میبریم تا پیدا کردن معکوس برابر پیدا کردن ریشه ی معادله ی $0=x^3+3x-(1+y) $ شود .
برای حل معادلاتی بصورت کلی $ x^3+Ax =B$ قرار میدهیم
$A=3st $ و$ B=s^3- t^3 $، جواب چنین معادلاتی برابر $x=s-t $ میشود لذا کافیست $ s$و$t $ را بدست آوریم.
در معادله ی سوال $A=3 $و$B=1+y $. برای حل از معادله ی اول $ s $ را برحسب $ t $ می یابیم و در معادله ی دوم جایگذاری میکنیم. یعنی $s= \frac{1}{t} $ را در معادله$ B=s^3- t^3 $ جایگذاری میکنیم پس داریم:
$$1+y=(\frac{1}{t} )^3- t^3 \Rightarrow t^6+(1+y)t^3 -1=0 $$
با تغییر متغییر $ u=t^3 $ معادله ی درجه دوم زیر را داریم که جوابهای آن را از روش دلتا می یابیم.
$$u^2 +(1+y)u-1=0 $$
$$t^3=u= \frac{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }{2} \Rightarrow t= \sqrt[3]{\frac{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }{2} } $$
$$s= \frac{1}{t}=\sqrt[3]{\frac{2}{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} } }= \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }} $$
پس جواب بصورت زیر است:
$$ x=s-t= \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4} }} - \frac{\sqrt[3]{-(1+y)+ \sqrt{(1+y)^2+4}}}{\sqrt[3]{2 }} $$
