عبارت رادیکالی رو به رو را چگونه میتوان ساده کرد: $\sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} }$

Question

عبارت رادیکالی زیر را در نظر بگیرید:

$$\sqrt[3]{2+ \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} }$$

اگر بخواهیم حاصل آن را در مجموعهٔ اعداد حقیقی به‌دست آوریم، حاصل برابر با $1$ می‌شود. چگونه می‌توان آن را ساده کرد تا به عدد $1$ برسیم؟

خودم هم تلاش های بسیاری برای این پرسش انجام دادم ولی به نتیجه‌ای نرسیدم.

Answer 1

به نام خدا

برای ساده کردن عبارت رادیکالی زیر:

$$\sqrt[3]{2+ \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2- \sqrt{5} }$$

می‌توان عبارت زیر رادیکال با فرجهٔ $3$ را به مکعب کامل تبدیل کرد:

$$\sqrt[3]{ \frac{(1+ \sqrt{5})^3 }{2^3} } + \sqrt[3]{ \frac{(1- \sqrt{5})^3 }{2^3} }$$

از صورت و مخرج جداگانه رادیکال می‌گیریم:

$$\frac{ \sqrt[3]{(1+ \sqrt{5} )^3} }{ \sqrt[3]{2^3} } +\frac{ \sqrt[3]{(1- \sqrt{5} )^3} }{ \sqrt[3]{2^3} } = \frac{1+ \sqrt{5} }{2} + \frac{1- \sqrt{5} }{2} =1$$

و همانطور که می‌بینید حاصل برابر با $1$ شد.

Answer 2

ابتدا عبارت داده شده را به صورت $a:=\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}$ تعریف میکنم همچنین میدانیم.

$$\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{(x+y)^3=(x^3+y^3)+3xy(x+y)}$$ عبارت های رادیکالی را به صورت $x:=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})} ,y:=\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})}$ تعریف می کنیم در نتیجه خواهیم داشت.

$$a^3=(2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})-3(a) \ \Rightarrow \ a^3+3a-4=0 \ \Rightarrow \ (a-1)(a^2+a+4)=0$$

عبارت $(a^2+a+4)\neq0 \ , \ a\in \mathbb{R}$ به این دلیل که ( دلتا منفی است ) در نتیجه حاصل عبارت برابر خواهد شد.

$$\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{(a-1)=0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ a=1}$$