با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان
برای نوشتن عدد 3 به شکل رادیکال‌های تودرتو، مراحل زیر را طی می‌کنیم:
3= \sqrt{9}
\Rightarrow 3= \sqrt{1+8}
\Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \cdot 4}
\Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{16} }
\Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+15} }
\Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \cdot 5} }
\Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{25} } }
\Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+24} } }
\Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \cdot 6} } }
\Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{36} } } }
\Longrightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+...} } } }
بنابراین، مقدار رادیکال تودرتوی \ \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+...} } } } به‌سمت عدد 3 میل می‌کند و در نهایت مقدار آن برابر با عدد 3 می‌شود. که اتفاقاً پس از بررسی متوجه‌شدم که این درست است.
پس از مشاهدۀ این محاسبات، سعی کردم عددهای دیگری را نیز به‌شکل رادیکال‌های تودرتو بنویسم. مثلاً عدد 2:
2= \sqrt{4}
\Rightarrow 2= \sqrt{1+3}
\Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{9} }
\Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+7} }
\Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{49} } }
\Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+46} } }
\Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{2116} } } }
\Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+2112} } } }
\Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{4460544} } } } }
\Longrightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } }
بنابراین، مقدار رادیکال تودرتوی \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } } به‌سمت عدد 2 میل می‌کند و در نهایت مقدار آن برابر با عدد 2 می‌شود. اما پس از بررسی متوجه‌شدم که این اشتباه است. در واقع، مقدار رادیکال تودرتوی \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } } به‌سمت یک عدد گنگ میل می‌کند که مقدار آن به‌طور تقریبی برابر است با 1.757. اما چرا دربارۀ عدد 3 مشکلی وجود نداشت و حاصل درست به‌دست آمد؟ مشکل از کجاست؟
