به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
63 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط AmirHosein

دو عبارت $ \sqrt[4]{-1} $ و $i \sqrt[4]{-1} $ را در نظر بگیرید، این دو عبارت را وقتی به توان ۴ می‌رسانیم حاصل هر دو $-1$ می‌شود. آیا می‌توان گفت با هم برابرند؟

توسط AmirHosein (11,167 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
شما ۱ و ۱- را نیز به توان ۴ برسانید با هم برابر هستند، ولی آیا از این نتیجه می‌گیرید که ۱ و ۱- با هم برابر هستند؟ بعلاوه پرسش‌تان به ریاضیات گسسته ربطی ندارد.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

0 امتیاز
توسط AmirHosein (11,167 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

همان گونه که در دیدگاهی زیر پرسش‌تان اشاره کردم به راحتی برای ادعای «اگر $a^4=b^4$ آنگاه $a=b$» می‌توانید مثال نقض بیابید مانند $a=1$ و $b=-1$. تابع $y=x^4$ نه تنها بر روی عددهای مختلط، $\mathbb{C}$، یک‌به‌یک نیست بلکه بر روی عددهای حقیقی، $\mathbb{R}$، نیز یک‌به‌یک نیست. و چون یک‌به‌یک نیست نمی‌توان از اینکه مقدارها برابر شوند نتیجه گرفت که دو عضوی که از استفاده شده‌اند یکسان بوده‌اند.

و اما برابر بودن یا نبودن $\sqrt[4]{-1}$ با $i\sqrt[4]{-1}$. به پست‌هایی که مربوط به توان کسری یا فرجه‌های عددهای حقیقی منفی در همین سایت موجود هستند نگاه کنید. در حالت کلی بدون مشخص کردن منظورتان از این نماد، معنای خاصی ممکن است نداشته باشد. برای نمونه این دیدگاه را بخوانید: https://math.irancircle.com/18481/#c18483

بیاییم دو حالت خاص در نظر بگیریم. حالت یکُم؛ منظورتان از $\sqrt[4]{-1}$ مجموعهٔ همهٔ ریشه‌های چهارم منفی یک است. و منظورتان از یک عدد پشت یک مجموعه یعنی مجموعهٔ حاصلضرب این عدد در تک‌تک عضوهای مجموعه. در این صورت:

$$ \left.\begin{array}{l} \sqrt[4]{-1}=\lbrace \tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1-i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(-1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(-1-i)\rbrace\\ \begin{array}{ll} i\sqrt[4]{-1} & =\lbrace \tfrac{\sqrt{2}}{2}i(1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}i(1-i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}i(-1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}i(-1-i)\rbrace\\ & =\lbrace \tfrac{\sqrt{2}}{2}(-1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(-1-i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1-i)\rbrace \end{array} \end{array}\right\rbrace\Longrightarrow i\sqrt[4]{-1}=\sqrt[4]{-1} $$

اما حالت دوم؛ منظور از $\sqrt[4]{-1}$ تنها یک عدد است. در این‌صورت باید به طور یکتا مشخص کنیم که کدام‌یک از چهار ریشهٔ چهارم منفی یک منظورتان است. به هر حال هر کدام از این چهار ریشه را که بردارید پس از ضرب $i$ در آن یکی دیگر از چهار ریشه را خواهید گرفت پس

$$i\sqrt[4]{-1}\neq\sqrt[4]{-1}$$

در هر یک از این حالت‌ها هیچ کاری به اینکه توان چهارم این دو عبارت با هم برابر است یا خیر نداریم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...