دو عبارت را به توان ۴ می رسانیم، حاصل هر دو $-1$ می شود. آیا می توان گفت این دو عبارت با هم برابرند؟

Question

دو عبارت $\sqrt[4]{-1}$ و $i \sqrt[4]{-1}$ را در نظر بگیرید، این دو عبارت را وقتی به توان ۴ می‌رسانیم حاصل هر دو $-1$ می‌شود. آیا می‌توان گفت با هم برابرند؟

Comments

شما ۱ و ۱- را نیز به توان ۴ برسانید با هم برابر هستند، ولی آیا از این نتیجه می‌گیرید که ۱ و ۱- با هم برابر هستند؟ بعلاوه پرسش‌تان به ریاضیات گسسته ربطی ندارد.

Answer 1

همان گونه که در دیدگاهی زیر پرسش‌تان اشاره کردم به راحتی برای ادعای «اگر $a^4=b^4$ آنگاه $a=b$» می‌توانید مثال نقض بیابید مانند $a=1$ و $b=-1$. تابع $y=x^4$ نه تنها بر روی عددهای مختلط، $\mathbb{C}$، یک‌به‌یک نیست بلکه بر روی عددهای حقیقی، $\mathbb{R}$، نیز یک‌به‌یک نیست. و چون یک‌به‌یک نیست نمی‌توان از اینکه مقدارها برابر شوند نتیجه گرفت که دو عضوی که از استفاده شده‌اند یکسان بوده‌اند.

و اما برابر بودن یا نبودن $\sqrt[4]{-1}$ با $i\sqrt[4]{-1}$. به پست‌هایی که مربوط به توان کسری یا فرجه‌های عددهای حقیقی منفی در همین سایت موجود هستند نگاه کنید. در حالت کلی بدون مشخص کردن منظورتان از این نماد، معنای خاصی ممکن است نداشته باشد. برای نمونه این دیدگاه را بخوانید: https://math.irancircle.com/18481/#c18483

بیاییم دو حالت خاص در نظر بگیریم. حالت یکُم؛ منظورتان از $\sqrt[4]{-1}$ مجموعهٔ همهٔ ریشه‌های چهارم منفی یک است. و منظورتان از یک عدد پشت یک مجموعه یعنی مجموعهٔ حاصلضرب این عدد در تک‌تک عضوهای مجموعه. در این صورت:

$$\left.\begin{array}{l} \sqrt[4]{-1}=\lbrace \tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1-i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(-1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(-1-i)\rbrace\\ \begin{array}{ll} i\sqrt[4]{-1} & =\lbrace \tfrac{\sqrt{2}}{2}i(1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}i(1-i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}i(-1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}i(-1-i)\rbrace\\ & =\lbrace \tfrac{\sqrt{2}}{2}(-1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(-1-i),\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1-i)\rbrace \end{array} \end{array}\right\rbrace\Longrightarrow i\sqrt[4]{-1}=\sqrt[4]{-1}$$

اما حالت دوم؛ منظور از $\sqrt[4]{-1}$ تنها یک عدد است. در این‌صورت باید به طور یکتا مشخص کنیم که کدام‌یک از چهار ریشهٔ چهارم منفی یک منظورتان است. به هر حال هر کدام از این چهار ریشه را که بردارید پس از ضرب $i$ در آن یکی دیگر از چهار ریشه را خواهید گرفت پس

$$i\sqrt[4]{-1}\neq\sqrt[4]{-1}$$

در هر یک از این حالت‌ها هیچ کاری به اینکه توان چهارم این دو عبارت با هم برابر است یا خیر نداریم.