تبدیل عبارت به حاصل جمع سه رادیکال

Question

عبارت زیر را به صورت جمع سه رادیکال بنویسید

Answer 1

سلام

$ \sqrt{8+ \sqrt{8}+ \sqrt{20}+ \sqrt{20}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \Rightarrow 8 + 2(\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{10}) = a+b+c + 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac}) \Rightarrow a+b+c=8 , ab+bc+ac=17$

در اینجا به راحتی با حدس و آزمایش میتوان اعداد (1،2،5) را بدست آورد اما برای تعمیم شاید بتوان راه حل کلی تری ارايه کرد

Answer 2

@Ramtin و @arminab

با سلام. روش مناسبی برای حل مسئله $\sqrt{8+ \sqrt{8}+ \sqrt{20}+ \sqrt{40}}= \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} $ در نظر گرفتید. برای تعمیم راه حل بنظر میرسد اگر دو معادله

$1)a+b+c=8$

$2)ab+bc+ac=17$

را بعنوان دستگاه دو معادله سه مجهولی در نظر بگیریم، و دو طرف معادله $1$ را به $b$ ضرب کنیم، و سپس حاصلضرب $b$ در معادله $1$ را از معادله $2$ کم کنیم، نتیجه زیر بدست می آید.

$b^{2} -8b-ac+17=0$

در اینصورت دلتای معادله درجه $2$ فوق برحسب مجهول $b$ بصورت زیر در می آید:

$\Delta= \sqrt{ac-1} $

و با توجه به معادله $1$، $ac$ محدود به مقادیر $1$ و $5$ و $10$ میشود. چون مقدار $ac=1$ بمعنای $a=c=1$ است و با صورت مسئله جواب نمیدهد، $a$ و $c$ بترتیب میتوانند مقادیر ($1$ و $5$) یا ($2$ و $5$) را اختیار کنند که در هر دو صورت با معادله $1$ جواب صحیح برای $b$ در دسترس است. موفق باشید.