چیزی که نوشتید ثابت نمیکند که $1=-1$ چون دو تا از تساویهایتان نادرست هستند. تساوی دوم از چپ به راست و تساوی آخر. ضابطهٔ جذر یعنی یافتنِ عددهایی که به توان ۲ برسند (در خودشان یک بار ضرب شوند) و برابر با عدد دلخواهتان بشود بر روی هر دامنهای تابع نمیشود مانند عددهای حقیقی و به دنبالش بر روی عددهای مختلط. در برخی کاربردها اگر بدانیم که مقادیرمان فقط عددهای حقیقی مثبت خواهند بود مثلا وقتی با یک پرسش در موضوع شیمی که با غلظت مادهها کار میکند و غلظت ماده عدد مختلط یا عدد حقیقی منفی نمیتواند بشود آنگاه خیلی راحت میدانیم که همدامنهمان $\mathbb{R}_{\geq 0}$ است، در این صورت یک تابع به شکل زیر داریم که معمولا کتابهای ریاضی مدرسه هم با این تابع برایتان کار میکنند:
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}
\mathbb{R}_{\geq 0} & \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \\
x & \longmapsto \sqrt{x}
\end{array}\right.$$
اما در حالت کلی باید به محیط پرسش نگاه کنید و ببینید چه چیزی محاسبه میکنید و رابطهٔ جذرتان بین چه دامنه و همدامنهای تعریف شدهاست. نوشتنِ $\sqrt{-1}$ وقتی که جذر را به عنوان یک رابطه بین $\mathbb{R}_{\geq 0}$ برداشتهباشید یک عبارت بیمعنا خواهد بود! یا در همین فرض نوشتن $\sqrt{1}=-1$.
پس اول دامنه و همدامنهتان را مشخص کنید! اکنون اگر قرار است $i$ به عنوان جذری از $-1$ قابل قبول باشد پس مسلما شما اصلا کار را با تابعِ جذری که در بالا نوشتم شروع نکردید. پس در این متن جذر را چگونه تعریف کردهاید؟ مسلما شما خواستهاید هر عددی که در شرط به توان دو برسد برابر با عدد زیر رادیکال باشد را پرچم سبز برای عبور بدهید. در این صورت اصلا رابطهٔ شما بین میدان اعداد مختلط و میدان اعداد مختلط نیست! چون در حال نسبت دادن یک مجموعه از عددها به هر عضو از دامنهتان هستید نه یک عدد خالی! پس رابطهٔ جذر اصلی و کلی (بدون تهدید کردن و قرارداد موقتی کردن) به صورت زیر تعریف میشود که اتفاقا یک تابع هم میشود و اصطلاحا تابعی مجموعهمقدار است (مقایسه شود با تابع اسکالر مقدار، تابع بردارمفدار، تابع ماتریسمقدار و غیره).
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}
\mathbb{C} & \longrightarrow P(\mathbb{C})\\
x & \longmapsto \lbrace y\in\mathbb{C}\mid y^2=x\rbrace
\end{array}\right.$$
که منظور از $P(\mathbb{C})$ مجموعهٔ توانیِ $\mathbb{C}$ یعنی مجموعهٔ تمام زیرمجموعههای $\mathbb{C}$ است. اکنون با توجه به تعریف درست تابع جذر، عبارت شما به شکل زیر درست است نه شکلی که نوشتید.
$$-1=i\times i\in\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=\sqrt{-1\times -1}=\sqrt{1}\ni 1$$
و باز هم توجه کنید که تساویهای وسط همینطوری دلبخواهی تعبیر و تعریف و برقرار نیستند. نماد ضرب بین دو زیرمجموعه از اعداد مختلط را برای عمل ضرب دکارتی دو مجموعه برنداشتهایم بلکه برای عمل زیر برداشتهایم. فرض کنید $A$ و $B$ دو زیرمجموعهٔ دلخواه از $\mathbb{C}$ باشند آنگاه
$$A\times B=\lbrace a\times b\mid a\in A, b\in B\rbrace$$
توجه کنید که
$$\begin{array}{l}
\sqrt{-1}=\lbrace i,-i\rbrace\\
i\times i\in\lbrace xy\mid x,y\in\sqrt{-1}\rbrace=\lbrace i^2,i(-i),(-i)i,(-i)^2\rbrace=\lbrace -1,1\rbrace\\
\sqrt{-1\times -1}=\sqrt{1}=\lbrace -1,1\rbrace\\
1\in \lbrace -1,1\rbrace
\end{array}$$
پس در واقع سادهشدهٔ چیزی که نوشتهاید این است:
$$1,-1\in\lbrace -1,1\rbrace$$
که بدیهی است و ادعایی شبیه به $1=-1$ در آن دیده نمیشود.
