آیا $(-1)^{ \frac{1}{4} }$ برابر است با $(-1)^{ \frac{3}{4} }$ ؟

Question

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

دو عبارت $(-1)^{ \frac{1}{4} }$ و $(-1)^{ \frac{3}{4} }$ را با استفاده از قانون توان های کسری ساده می‌کنیم...

پس از ساده کردن در هر دو عبارت به $\sqrt[4]{-1}$ می‌رسیم. چون حاصل این دو عبارت یکسان شده است پس می‌توان گفت این دو عبارت با هم برابرند.

ولی پس از بررسی صحیح بودن برابری این دو عبارت در نرم افزار Mathematica نرم افزار به ما می‌گوید: False یعنی "این دو عبارت با هم برابر نیستند"

اما ابهام اصلی من این است که چرا نرم افزار می‌گوید این دو عبارت با هم برابر نیستند؟در حالی که خودمان هم دیدیم با هم برابرند.آیا نرم افزار اشتباه می‌کند؟

Comments

متمتیکارا نمیدانم ولی در ریاضیات (درس توابع مختلط) هر دوی$(-1)^{\frac{3}{4}}$ و$(-1)^{\frac{1}{4}}$ یک مجموعه چهار عضوی است:
$$\sqrt[4]{(-1)^3}=\sqrt[4]{-1}=\lbrace e^{i\frac{\pi }{4}},e^{i\frac{3\pi }{4}},e^{i\frac{5\pi }{4}},e^{i\frac{7\pi }{4}} \rbrace \\ =\lbrace \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}, \ -\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}, \ -\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}  \rbrace$$
حال اگر از لحاظ مجموعه ای بخواهیم مقایسه کنیم، میبینیم که برابر است. شاید نتوان دومجموعه را اینگونه در نرم افزار مقایسه کرد..

---

@m.snb به پاسخ گذاشته‌شده در اینجا نگاه کنید، به اینکه نرم‌افزار Mathematica چگونه به توان کسری نگاه می‌کند نیز اشاره‌ای شده‌است.
https://math.irancircle.com/18110/#a18139
بدون اینکه در مسأله و محیط خاصی باشید معنای نمادها می‌تواند متفاوت دیده شوند. اگر در پرسش کاربردی یا فضای خاص و دقیقی مطرح کنید آنگاه می‌توان از محیط پرسش پاسخ درست را تشخیص داد.  در غیر اینصورت آقای @good4us نکتهٔ مهمی در مورد توان کسری عددهای منفی پیش‌تر به من گفته‌بودند که به نظرم برای شما نیز می‌تواند مفید باشد. $(-1)^{\frac{2}{2}}$ را چگونه محاسبه می‌کنید؟ آیا می‌توانیم بگوئیم عبارت اخیر با $(-1)^{\frac{3}{3}}$ برابر است. در هر دو حالت عدد یا مجموعه‌مقدار بودن به مشکل برمی‌خورید. با سپاس مجدد از مثالی که آقای @good4us در تاریخ ۲۶ بهمن ۱۳۹۵ زدند.

---

@AmirHosein شماخیلی  لطف دارید

Answer 1

نخست اینکه می‌گوئید بنا به قانون‌های توان‌های کسری دو عبارت را ساده می‌کنید. بنا به کدام قانون توان‌های کسری؟ ابتدا باید منظورتان از توان کسری یک عدد منفی را اعلام کنید که یک عدد است یا یک مجموعه. در حالت عدد بودن باید به طور یکتا مشخص کنید که کدام عدد از ریشه‌های ممکن! سپس قانون‌هایی که می‌گوئید را ارجاع‌دهی کنید که چه قانونی استفاده کرده‌اید و در کجا صحت این قانون شما آورده‌شده‌است.

همانطور که در دیدگاه زیر پرسش‌تان اشاره کردم (با سپاس دوباره از @good4us) به صورت پیش‌فرض نمادهایی که می‌گوئید بدون مشخص کردن معنا، نامفهوم هستند و تمام حرف‌هایی که پس از آن می‌زنید نیز بی‌معنی می‌شوند.

اما در مورد نرم‌افزار Mathematica، در پاسخ به پرسش دیگری‌تان (https://math.irancircle.com/18110/#a18139) اشاره شد که در این نرم‌افزار طراح‌ها یکی از ریشه‌های ممکن را با توجه به دستور‌العملی انتخاب می‌کنند که اشاره کردیم. اکنون بیاییم ببینیم چه عددهایی انتخاب شده‌اند.

N[(-1)^(1/4)]
N[(-1)^(3/4)]

به ترتیب خروجی‌ها برابر هستند با

0.707107+0.707107i
-0.707107+0.707107i

که مشخص است که با هم برابر نیستند (بخش حقیقی دومی منفی دارد)، تناقضی با هیچ چیزی هم ندارد. برای سرگرمی خروجی عبارت زیر را هم ببینیم.

(N[(-1)^(1/4)])^3

که برابر می‌شود با

-0.707107+0.707107i

پس خیلی هم برنامه‌نویس‌های این نرم‌افزار قرارداد خودشان پیرامون انتخاب ریشه بد انجام نداده‌اند. به هر حال باز تأکید می‌کنیم که وابسته به پرسشی که از واقعیت می‌آید نه صرفا بازی با نمادها ممکن است انتخاب دیگری از ریشه‌ها که متفاوت از انتخاب قرارداد این نرم‌افزار باشد درست باشد. همه چیز وابسته به محیط پرسش است.