به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
57 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Am.s (380 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

برای نوشتن عدد $3$ به شکل رادیکال‌های تودرتو، مراحل زیر را طی می‌کنیم:

$3= \sqrt{9} $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+8} $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \cdot 4} $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{16} } $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+15} } $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \cdot 5} } $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{25} } } $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+24} } } $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \cdot 6} } } $

$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{36} } } } $

$ \Longrightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+...} } } } $

بنابراین، مقدار رادیکال تودرتوی $\ \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+...} } } }$ به‌سمت عدد $3$ میل می‌کند و در نهایت مقدار آن برابر با عدد $3$ می‌شود. که اتفاقاً پس از بررسی متوجه‌شدم که این درست است.

پس از مشاهدۀ این محاسبات، سعی کردم عددهای دیگری را نیز به‌شکل رادیکال‌های تودرتو بنویسم. مثلاً عدد $2$:

$2= \sqrt{4} $

$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+3} $

$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{9} } $

$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+7} } $

$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{49} } } $

$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+46} } } $

$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{2116} } } } $

$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+2112} } } } $

$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{4460544} } } } } $

$ \Longrightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } } $

بنابراین، مقدار رادیکال تودرتوی $\sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } }$ به‌سمت عدد $2$ میل می‌کند و در نهایت مقدار آن برابر با عدد $2$ می‌شود. اما پس از بررسی متوجه‌شدم که این اشتباه است. در واقع، مقدار رادیکال تودرتوی $\sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } }$ به‌سمت یک عدد گنگ میل می‌کند که مقدار آن به‌طور تقریبی برابر است با $1.757$. اما چرا دربارۀ عدد $3$ مشکلی وجود نداشت و حاصل درست به‌دست آمد؟ مشکل از کجاست؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
انتخاب شده توسط Am.s
 
بهترین پاسخ

مشکلی وجود ندارد، تنها نکته اینجاست که شما در حال بررسی دو دنبالهٔ متفاوت هستید پس متفاوت شدن مقدار همگرایی‌شان تعجبی ایجاد نمی‌کند. دنبالهٔ شما رادیکال‌های تودرتویش به این شکل هستند.

$$\sqrt{1+3},\sqrt{1+\sqrt{2+7}},\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+46}}},\dots$$

هست که دنبالهٔ ثابت ۲ است. ولی دنباله‌ٔ دومی که حدش گنگ است، دنبالهٔ زیر است.

$$\sqrt{1},\sqrt{1+\sqrt{2}},\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3}}},\dots$$

توجه کنید که همانطور که یک دنباله به طور یکتا از روی تعداد متناهی جمله‌اش تعریف و متمایز از سایر دنباله‌ها نمی‌شود، یک سری یا یک عبارت نامتناهی از هر نوع دیگر نیز از روی تعداد متناهی جمله یا قسمتش به طور یکتا مشخص نمی‌شود. پس اینکه حد دو دنبالهٔ بالا در صورت وجود یک عبارت با ابتدای $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\dots}}}$ می‌شود، معنایش این نیست که هر دو یکسان هستند، چون این عبارت آخر یک چیز یکتا نیست مگر اینکه به نوعی (مانند جمله عمومی دادن در دنباله‌ها) تعریفش را دقیق بیاورید. که در بالا اشاره شد چرا دو عبارت شما که ازشان صحبت می‌کنید یکسان نیستند. ۲ به شکل این عبارت که پس از هر جمع دقیقا $n$ بیاید و $n$ یک واحد یک واحد افزایش یابد بدون توقف، نوشته نمی‌شود. به عبارت‌های خودتان اگر نگاه کنید هر دفعه در یک گام متناهی ایستاده‌اید و جملهٔ آخر از قانون‌تان پیروی نمی‌کند.

توسط Am.s (380 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@AmirHosein خب در مورد عدد $3$ هم، در حال بررسی دو دنبالۀ متفاوت هستیم ولی مقدار همگرایی‌شان  متفاوت نمی‌شود و هر دو، به‌عدد $3$ همگرا می‌شوند؛ دنباله رادیکال‌های تودرتوی عدد $3$ به‌این شکل است:
$\sqrt{1+8}, \sqrt{1+2 \sqrt{16} }, \sqrt{1+2 \sqrt{3 \cdot 5} },...  $
ولی دنبالۀ دومی که  حدش عدد $3$ است؛ به‌این شکل است:
$ \sqrt{1}, \sqrt{1+2}, \sqrt{1+2 \sqrt{1+3} },...   $
ولی با این حال، مقدار همگرایی دنباله‌ها تفاوتی نمی‌کند (حد هر دو عدد $3$ است، با این که در حال بررسی دو دنبالۀ متفاوت هستیم) ولی چرا در مورد عدد $2$ مقدار همگرایی تغییر کرد؟
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
@Am.s دو دنبالهٔ متفاوت می‌توانند حد یکسان داشته‌باشند، چیزی که نادرست است این است که یک دنباله، در صورت داشتن حد، حد یکتایی دارد. پس اگر گفته‌تان درست باشد و این دو دنباله متفاوت باشند تناقضی ایجاد نمی‌کند چون از آن نمی‌توان نتیجه گرفت که حدشان باید متفاوت باشد.
نکتهٔ دیگر که شاید بخواهید به آن توجه کنید این است که در روندی که داده شده‌است نظم وجود دارد و عدد اضافه در مرحلهٔ $n$اُم به شکل $n(n+2)$ است، پس می‌توانید یک جملهٔ عمومی خوب برایش بدهید و صرفا یک فرمول تصادفی نیست. $a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{\dots+(n-1)\sqrt{1+n(n+2)}}}}$
توسط amir7788 (1,114 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788
صبحتم  در مورد عدد 2 می باشه اگر روند ساختن 2 در هر مرجله درست باشه یعنی حاصل رادیکال تو در تو برابر 2 باشه آنگاه  حدش غیر 2 نمی تونه، باشه. کسی می تونه موضوع روشن‌تر بیان کنه؟
توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
+1
@amir7788 منظورتان را متوجه نمی‌شوم، دیدگاه‌تان را دوباره بررسی کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...