با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان
برای نوشتن عدد $3$ به شکل رادیکالهای تودرتو، مراحل زیر را طی میکنیم:
$3= \sqrt{9} $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+8} $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \cdot 4} $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{16} } $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+15} } $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \cdot 5} } $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{25} } } $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+24} } } $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \cdot 6} } } $
$ \Rightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{36} } } } $
$ \Longrightarrow 3= \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+...} } } } $
بنابراین، مقدار رادیکال تودرتوی $\ \sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+...} } } }$ بهسمت عدد $3$ میل میکند و در نهایت مقدار آن برابر با عدد $3$ میشود. که اتفاقاً پس از بررسی متوجهشدم که این درست است.
پس از مشاهدۀ این محاسبات، سعی کردم عددهای دیگری را نیز بهشکل رادیکالهای تودرتو بنویسم. مثلاً عدد $2$:
$2= \sqrt{4} $
$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+3} $
$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{9} } $
$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+7} } $
$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{49} } } $
$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+46} } } $
$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{2116} } } } $
$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+2112} } } } $
$ \Rightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{4460544} } } } } $
$ \Longrightarrow 2= \sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } } $
بنابراین، مقدار رادیکال تودرتوی $\sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } }$ بهسمت عدد $2$ میل میکند و در نهایت مقدار آن برابر با عدد $2$ میشود. اما پس از بررسی متوجهشدم که این اشتباه است. در واقع، مقدار رادیکال تودرتوی $\sqrt{1+ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{4+ \sqrt{5+...} } } } }$ بهسمت یک عدد گنگ میل میکند که مقدار آن بهطور تقریبی برابر است با $1.757$. اما چرا دربارۀ عدد $3$ مشکلی وجود نداشت و حاصل درست بهدست آمد؟ مشکل از کجاست؟
