روش محاسبه تعداد انواع ژنوتيپ در صفات تك ژني چند آللي

Question

اگر در جمعيتي براي يك صفت تك ژني n آلل داشته باشيم چند نوع ژنوتيپ در جامعه براي موجودي rپلوئيدي قابل تصور است؟؟؟

به زبان رياضي

اگر$n$ شی متمايز و $r$ جايگاه داشته باشيم.مطلوب است تعداد حالت هايي كه ميتوان $n$ شی متمايز را در$r$ جايگاه قرار داد به طوري كه:

هر يك از اين $n$ شي ميتوانند هيچ يا يك يا دو يا....$r$ باردر اين جايگاه ها قرار بگيرنند ؟؟؟

(در ضمن جابجا بودن اشيا حالت جديدي ايجاد نميكند يعني به فرض حالتaabياbaa ياabaهيچ تفاوتي با هم ندارد ويك حالت محسوب مي شوند)

---

تلاش برای حل:

دو حالت از اين سوال را بررسي ميكنيم...

1-اگر در جمعيتي براي صفتي تك ژني nآلل داشته باشيم.(nشي متمايز)تعداد انواع ژنوتيپ در جامعه براي موجودي هاپلوئيدي(يك جايگاه) برابر است با n

علت $A_{n} ..... , A_{3}, A_{2} , A_{1} \Longleftarrow$ داوطلب هستن براي رفتن به آن يك جايگاه

2-اگر درجمعيتي براي صفتي تك ژنيnآلل داشته باشيم(nشي متمايز)تعداد انواع ژنو تيپ در جامعه براي موجودي ديپلوئيدي(دوجايگاه)برابر است با$\frac{n(n+1)}{2}$

علت $\Leftarrow$ تعداد حالتهاي ممكن

الف)در اين دو جايگاه شي هايي كه قرار ميگيرند مثل هم باشند.كه در اين صورت چون nشي داريم .nحالت به ما مي دهد

ب)در اين دو جايگاه شي هايي كه قرار ميگيرند متمايز باشند .وچون جابجايي شي حالت جديدي ايجاد نمي كند برابر است با انتخاب 2شي ازn شي يا$\frac{n(n-1)}{2}$

حال اين دو حالت را طبق اصل جمع جمع ميكنيم.$\frac{n(n-1)}{2}+n= \frac{n(n+1)}{2}$

حال سوال اينجاست كه اگر nآلل داشته باشيم(nشي متمايز)تعداد انواع ژنوتيپ در جامعه براي موجوديrپلوئيدي (rجايگاه) چند تا است؟؟

Answer 1

در واقع پرسش شما به ریاضی هم‌ارز با این است که $n$ آلل دارید و $r$ جایگاه. هر یک از این آلل‌ها می‌توانند حداکثر $r$ جایگاه و دست‌کم صفر جایگاه را اتخاذ کنند. به عبارت دیگر $n$ متغیرِ $x_1$ تا $x_n$ دارید که مقادیر $0$ تا $r$ می‌توانند اتخاذ کنند و جمعشان باید $r$ شود. در درس ریاضیات گسستهٔ پیش‌دانشگاهی دیده‌اید که تعداد جواب‌های صحیح نامنفی معادلهٔ $x_1+\cdots+x_n=r$ برابر است با $\binom{r+n-1}{n-1}$ که مساویِ $\binom{r+n-1}{r}$ نیز است. اکنون برگردید به مثال‌تان که $r=2$ بود. با جایگذاری در فرمول بالا دارید $\binom{n+2-1}{2}=\dfrac{(n+1)n}{2}$.