تعداد حالت های پخش $n$ شیءِ متمایز در $n$ ظرف متمایز به گونه ای که هیچ ظرفی خالی نماند.

Question

هفت گوی رنگی متفاوت و ۴ ظرف داریم که با ۱ و ۲ و ۳ و ۴ شماره‌گذاری شده‌اند. به چند طریق می‌توانیم این گوی‌ها را در ظرف‌ها توزیع کنیم که هیچ ظرفی خالی نماند؟

Answer 1

شما در اصل تعداد توابع پوشا با دامنه ۴ و برد ۷ را می‌خواهید. $$f(x)= \{ (x_1,□),(x_2,□),...(x_4,□)\}$$ محاسباتش طولانی است. ولی اگر به جای ۴ ظرف سه ظرف داشتیم حالت کلی میشد$$3^n-3(2^n)+3 $$ یعنی تعداد توابع پوشا با دامنه ۳ و برد n

Comments

@sMs دامنه و هم‌دامنه را جابجا برگزیدید. درستش این است که «به هر گوی، ظرفی را اختصاص می‌دهید»، اگر دامنه را ظرف‌ها بگیرید به دلیل تابع بودن هر ظرف دست‌بالا (حداکثر) یک گوی می‌گیرد.

Answer 2

از این ۷ گوی ۴ تا را انتخاب می کنیم و سپس توزیع می کنیم یعنی:. ( p(7,4

حال سه گوی باقی می ماند که هر گوی می تواند به ۴ نفر برسد. پس جواب به طور کلی می شود:

$p(7,4)× 4^{3}$

Comments

@Elyas1 پاسختان اشتباه است. اگر مرحله اول همه‌ی گوی‌ها در یک ظرف قرار بگیرند چه؟ شما این حالت را هم حساب کرده‌اید که نباید حساب شود.

---

@sMs ما از ۷ گوی ۴ تا را انتخاب می کنیم. حال می رویم سراغ ۴ ظرف. ظرف اول ۴ انتخاب و ظرف دوم هم ۳ و...ظرف چهار ۱ گوی. پس اکنون ما شرط مسئله را بر آورد کرده ایم.۳ گوی باقی می ماند. هیچ اشکالی وجود ندارد که این سه گوی در یک ظرف باشند.

---

در واقع از این دیدگاه هم می‌شود نگاه کرد که از ۷ گوی ۴ تا را انتخاب کنید و سپس در یک ردیف جایگشت دهید. حال به هر گوی از سمت چپ به راست شماره های ۱ تا ۴ را اختصاص دهید و فرض کنید هر شماره نشان دهنده یک ظرف است. حال مسئله به این می رسد که تعداد حالت های توزیع ۳ گوی متفاوت بین ۴ ظرف.