Question

روی محیط یک دایره $n$ نقطه قرار دارد. می‌دانیم برای هر دو نقطۀ دلخواه، یکی از دو کمانی که آن‌ها را به هم پیوسته، از $120$ درجه کمتر است. ثابت کنید همۀ این $n$ نقطه روی کمانی برابر $120$ درجه قرار دارد.

Comments

به نظرم به استقراء ثابت می شود.

---

@amir7788 چگونه؟

---

فرض می کنیم برای هر n تایی بزرگتر یا مساوی 2 درست باشد، حال برای n+1 ثابت می کنیم. اگر نقطه n+1 داخل کمان 120 باشه حکم تمام است و خارج آن باشه به تناقض می رسیم

Answer 1

به نام خدا.

ابتدا دو نکته را اثبات می کنیم.

1. اگر دو کمان $AB,BC$ کمتر از $120$ درجه باشد، آنگاه جمع این دو نیز از $120$ درجه کمتر است.(توجه کنید که با توجه به شرط مسئله درست است.)

اثبات:

$AB< 120$

$BC< 120$

$AB+BC< 240$

$ADC=360-(AB+BC) \Longrightarrow ADC>120$

حداقل مقدار $ADC$ زمانی رخ می دهد که $AB+BC$ بیشترین مقدار را داشته باشد. یعنی $ADC$ بزرگتر از $120$ درجه می باشد. این یعنی $AB+BC$ کمتر از $120$ درجه می باشد.(چرا؟)

زیرا کمان $ADC$ بزرگتر از $120$ درجه می باشد و با توجه به شرط مسئله (برای هر دو نقطه دلخواه، یکی از دو کمانی که آنها را به هم پیوسته، از 120 درجه کمتر است. آن دو نقطه اینجا $A,C$ هستند.) پس باید کمان$AC=AB+BC$ از $120$ درجه کمتر باشد.

2. یک کمان کمتر از $120$ نمی تواند بین دو کمان بیشتر از $120$ درجه باشد.یا به عبارتی دیگر، یک کمان کمتر $120$ درجه بین دو کمان کمتر از $120$ درجه یا بین دو کمان است که یکی بیشتر از $120$ و دیگری کمتر از $120$ می باشد.

   اثبات به راحتی انجام می شود.

   حال می رویم سراغ مسئله.

   کمان $a_1a_2$ کمتر از $120$ درجه می باشد. با توجه به نکته $2$ حداقل یکی از دو کمان مجاور کمتر از $120$ درجه می‌باشد. مثلاً کمان $a_2a_3$ کمتر از $120$ درجه می باشد. این کمان را با کمان $a_1a_2$ جمع می کنیم. اکنون با توجه به نکته $1$ یک کمان داریم که کمتر از $120$ است. این کار را ادامه می دهیم تا دیگر نتوانیم کمان را بزرگ کنیم. پس تمامی نقاط روی کمان کمتر از $120$ درجه قرار گرفتند.

Comments

نکته 1 متوجه نمی شوم. یعنی  اگر کمان AB و کمان AC برابر 100 درجه باشد آنگاه کمان ACکمتر 120 درجه است؟ مطمئن هستید؟

---

@amir7788 با توجه شرط مسئله این نکته درست است. مثلاً اگر کمان $AB,BC$ برابر با $100$ باشند، آنگاه جمع آنها می شود $200$ یعنی کمان $AC$ برابر با $200$ درجه می باشد. حال آن یکی کمانی که $A,C$ را به هم وصل می کند برابر با $360-200=160$ می شود. و این یعنی هر دو کمانی که دو نقطه $A,C$ را به هم وصل می کنند، بیشتر از $120$ می باشند و این خلاف شرط مسئله است.

---

شما در همان ابتدا بعنوان نکته در حالت کلی گفتید ؟ ودر خط اول اثبات جمع بزرگتر از 240 گرفتید.؟ در اثبات از شرط مسئله کجا استفاده کردید؟ برایم روشن نیست

---

@amir7788 پاسخ را ویرایش کردم و سعی کردم به آن توضیحات دیگری اضافه کنم.