تعداد ریشه های $4 x^{2}-4( \sqrt{ a_{1} + a_{2} +... a_{n} }) x +n(\sqrt[n]{ a_{1} .a_{2} .... a_{n } }) $

Question

اگر $ a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} $ دنباله اي از اعداد حقيقي مثبت باشد .معادله ي

$$4 x^{2}-4( \sqrt{ a_{1} + a_{2} +... a_{n} }) x +n(\sqrt[n]{ a_{1} .a_{2} .... a_{n } }) $$

چند ريشه دارد ؟

Answer 1

اگر از رابطه ی بین میانگین هندسی و حسابی $\sqrt[n]{a_1...a_n}\leq \frac{a_1+...+a_n}{n}$ که در این سوال اثبات شده است استفاده کنید داریم:

$\Delta=b^2-4ac=16(a_1+...+a_n)-16n\sqrt[n]{a_1...a_n}\geq 0$ است. چون $\Delta\geq 0$ است لذا دو حالت را باید در نظر بگیریم: یا $\Delta> 0$ که در این صورت دو ریشه دارد یا $\Delta=0$ که در اینصورت فقط یک ریشه دارد.

توجه کنید که $\Delta=0$ معادل این است که میانگین هندسی و حسابی با هم برابر باشند که فقط در صورتی با هم برابرند که $a_1=a_2=...=a_n$ .

پس اگر در مساله فرض شود که حداقل دو تا از $a_i$ ها با هم برابر نیستند آنگاه معادله دو جواب حقیقی دارد.