بفرض $a_n$ یک دنبالهٔ حسابی باشد. $\frac{1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n}}}$ را بیابید.

Question

اگر $a_1$ تا $a_n$ مقدار $n$ جملهٔ نخست یک دنبالهٔ حسابی باشند، مقدار $S$ که در زیر آورده‌شده‌است را محاسبه کنید.

$$S=\frac{1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n}}}$$

Answer 1

$$\begin{align} S&= \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} } + \sqrt{ a_{1} } } +\frac{1}{ \sqrt{ a_{3} } + \sqrt{ a_{2} } } + ...+ \frac{1}{ \sqrt{ a_{n} } + \sqrt{ a_{n-1} } }\\ & = \frac{\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} }}{ a_{2}- a_{1} } + \frac{\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} }}{ a_{3}- a_{2} } + ...+\frac{\sqrt{ a_{n} }-\sqrt{ a_{n-1} }}{ a_{n}- a_{n-1} } \end{align}$$

اما از طرفی در تصاعد حسابی تفاضل هر دو جمله پشت سرهم برابر قدرنسبت یعنی $d $ است و $ a_{n} = a_{1}+(n-1)d $ پس $$\begin{align} S&= \frac{(\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} })+(\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} })+...+ (\sqrt{ a_{n} } - \sqrt{ a_{n-1} })}{d}\\ &= \frac{\sqrt{ a_{n} } - \sqrt{ a_{1} }}{d}= \frac{ a_{n} - a_{1} }{d(\sqrt{ a_{n} } +\sqrt{ a_{1} }) } \\ &= \frac{(n-1) d}{d (\sqrt{ a_{n} } +\sqrt{ a_{1} })} = \frac{n-1}{\sqrt{ a_{n} }+ \sqrt{ a_{1} }} \end{align}$$