بفرض $a_n$ یک دنبالهٔ حسابی باشد و $s_n$ و $r_n$ به ترتیب دنبالهٔ مجموع جزئی اعضای $a_n$ و وارونشان باشند. آیا $\frac{s_n}{r_n}=a_1a_n$؟

Question

اگر $a_1$ تا $a_n$ مقدارهای $n$ جملهٔ نخست یک دنبالهٔ حسابی باشند و تعریف کنیم

$$\begin{align} s_n &=a_1+\cdots+a_n\\ r_n &= \frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n} \end{align}$$

آنگاه آیا رابطهٔ زیر برقرار است؟

$$\frac{s_n}{r_n}=a_1a_n$$

Answer 1

حکمی که نوشتیدبرای دنباله حسابی درست نیست. مثال نقض: دنباله $$a_1=1,a_2=2,a_3=3$$ را در نظر بگیرید در اینصورت $ S_3=6 $ و $ R_3=\frac{11}{6} $ . داریم: $ \frac{S_3}{R_3}=\frac{36}{11} $ در حالیکه $ a_1a_3=3 $ .

Comments

منم داشتم مثال نقض رو می نوشتم!!!!!!

---

بله من توجه نکردم که باید هندسی باشه، در این صورت حل مسئله راحته.

---

با اینکه قبلا صورت سوالو اشتباه مطرح کردم، اثبات برای دنباله هندسی به این صورته:

$$ S_{n} = \frac{a( q^{n} -1)}{q-1} $$ $$ R_{n}= \frac{ a^{-1} ( q^{-n} -1)}{q^{-1} -1} $$ $$ \Longrightarrow $$ $$ \frac{ S_{n} }{R_{n} } = a^{2} q^{n-1} = a_{1} a_{n} $$