بفرض $a_n$ یک دنبالهٔ حسابی باشد. $\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+\frac{1}{a_{2}+a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{14}+a_{15}}$ را بیابید.

Question

اگر $a_1$ تا $a_{15}$ پانزده جملهٔ نخست یک دنبالهٔ حسابی باشند، آنگاه حاصل زیر را بدست آورید.

$$\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+\frac{1}{a_{2}+a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{14}+a_{15}}$$

Answer 1

ابتدا قرار دهید $ a_{i} \longmapsto \sqrt{ a_{i} } $ لذا داریم: $$\begin{align} S&= \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} } + \sqrt{ a_{1} } } +\frac{1}{ \sqrt{ a_{3} } + \sqrt{ a_{2} } } + ...+ \frac{1}{ \sqrt{ a_{15} } + \sqrt{ a_{14} } }\\ & = \frac{\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} }}{ a_{2}- a_{1} } + \frac{\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} }}{ a_{3}- a_{2} } + ...+\frac{\sqrt{ a_{15} }-\sqrt{ a_{14} }}{ a_{15}- a_{14} } \end{align}$$

اما از طرفی در تصاعد حسابی تفاضل هر دو جمله پشت سرهم برابر قدرنسبت یعنی $d $ است و $ a_{n} = a_{1}+(n-1)d $ پس $$\begin{align} S&= \frac{(\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} })+(\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} })+...+ (\sqrt{ a_{15} } - \sqrt{ a_{14} })}{d}\\ &= \frac{\sqrt{ a_{15} } - \sqrt{ a_{1} }}{d}= \frac{ a_{15} - a_{1} }{d(\sqrt{ a_{15} } +\sqrt{ a_{1} }) } \\ &= \frac{14 d}{d (\sqrt{ a_{15} } +\sqrt{ a_{1} })} = \frac{14}{\sqrt{ a_{15} }+ \sqrt{ a_{1} }} \end{align}$$

حال قرار می دهیم $ \sqrt{ a_{i} } \longmapsto a_{i} $ لذا داریم $$ S= \frac{14}{a_{15} + a_{1} } $$