ابتدا قرار دهید $ a_{i} \longmapsto \sqrt{ a_{i} } $ لذا داریم:
$$\begin{align}
S&= \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} } + \sqrt{ a_{1} } } +\frac{1}{ \sqrt{ a_{3} } + \sqrt{ a_{2} } } + ...+
\frac{1}{ \sqrt{ a_{15} } + \sqrt{ a_{14} } }\\
& = \frac{\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} }}{ a_{2}- a_{1} } + \frac{\sqrt{ a_{3} }
- \sqrt{ a_{2} }}{ a_{3}- a_{2} } + ...+\frac{\sqrt{ a_{15} }-\sqrt{ a_{14} }}{ a_{15}- a_{14} }
\end{align}$$
اما از طرفی در تصاعد حسابی تفاضل هر دو جمله پشت سرهم برابر قدرنسبت یعنی $d $ است و
$ a_{n} = a_{1}+(n-1)d $ پس
$$\begin{align}
S&= \frac{(\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} })+(\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} })+...+
(\sqrt{ a_{15} } - \sqrt{ a_{14} })}{d}\\
&= \frac{\sqrt{ a_{15} } - \sqrt{ a_{1} }}{d}= \frac{ a_{15} - a_{1} }{d(\sqrt{ a_{15} } +\sqrt{ a_{1} }) } \\
&= \frac{14 d}{d (\sqrt{ a_{15} } +\sqrt{ a_{1} })} = \frac{14}{\sqrt{ a_{15} }+ \sqrt{ a_{1} }}
\end{align}$$
حال قرار می دهیم $ \sqrt{ a_{i} } \longmapsto a_{i} $ لذا داریم
$$ S= \frac{14}{a_{15} + a_{1} } $$
