بفرض $a_n=a_1+(n-1)d$ دنباله حسابی آنگاه $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}}$.

Question

چرا گزارهٔ زیر برقرار است؟

اگر $a_n$ یک دنباله حسابی باشد یعنی $a_n=a_1+(n-1)d$، که $a_1$ جمله اول و $d$ قدرنسبت است آنگاه داریم؛ $$ \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\cdots+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac n{a_1a_{n+1}}$$

Answer 1

اثبات رو با استقرا انجام میدیم:

برای $ n=1 $ داریم: $ \frac{1}{a_1a_2}=\frac 1{a_1a_2} $

فرض کنیم برای $ n $ درست باشد: $$ \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac n{a_1a_{n+1}}$$

باید ثابت کنیم برای $n+1 $ نیز درست است:
$$\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}+ \frac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}=\frac{n+1}{a_1a_{n+1}}$$

برای اثبات با استفاده از فرض استقرا داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \underbrace{\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}}+\\ \frac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}&=\frac n{a_1a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}\\ &=\frac{na_{n+2}+a_1}{a_1a_{n+1}a_{n+2}}\\ &=\frac{n(a_1+(n+2-1)d)+a_1}{a_1a_{n+1}a_{n+2}}\\ &=\frac{(n+1)a_1+n(n+1)d}{a_1a_{n+1}a_{n+2}}\\ &=\frac{(n+1)\overbrace{(a_1+nd)}^{\cancel{a_{n+1}}}}{a_1\cancel{a_{n+1}}a_{n+2}}\\ &=\frac{n+1}{a_1a_{n+2}} \end{align}$$

Comments

این فرمول برای چه جایی استفاده میشه؟

---

خوب واضحه دیگه وقتی در یک دنباله حسابی $a_n$ ازمون بخوان $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}$ رو به دست بیاریم. مثل سوال https://math.irancircle.com/253 که خودتون پرسیدین