اگر $\sum a_n$ همگرا باشد $\sum \sqrt{a_na_{n+1}}$ نیز همگراست.

Question

اگر $a_n > 0$ و سری $\sum a_n$ همگرا باشد نشان دهید که سری $\sum \sqrt{a_na_{n+1}}$ نیز همگراست.

Answer 1

فرض $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ دنباله مجموعهای جزیی $\sum a_n$ و $S_n'=\sum_{k=1}^n\sqrt{a_ka_{k+1}}$ باشد . حال از رابطه ی بین میانگین هندسی و حسابی $\sqrt {ab}\leq \frac{a+b}2$ استفاده کنیم داریم: $$\begin{align}S_n'=\sum_1^n\sqrt{a_ka_{k+1}}& \leq \sum_1^n\frac{a_k+a_{k+1}}2\\ &=S_n+\frac{a_{n+1}-a_1}2 \end{align}$$ چون $\sum a_n$ همگراست لذا $S_n$ کراندار است پس $S_n'$ نیز کراندار است و چون $\sqrt{a_ka_{k+1}}$ مثبت هستند لذا $S_n'$ صعودی است پس $S_n'$ همگراست.