فرض $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ دنباله مجموعهای جزیی $\sum a_n$ و $S_n'=\sum_{k=1}^n\sqrt{a_ka_{k+1}}$ باشد . حال از رابطه ی بین میانگین هندسی و حسابی $\sqrt {ab}\leq \frac{a+b}2$ استفاده کنیم داریم:
$$\begin{align}S_n'=\sum_1^n\sqrt{a_ka_{k+1}}& \leq \sum_1^n\frac{a_k+a_{k+1}}2\\
&=S_n+\frac{a_{n+1}-a_1}2 \end{align}$$
چون $\sum a_n$ همگراست لذا $S_n$ کراندار است پس $S_n'$ نیز کراندار است و چون $\sqrt{a_ka_{k+1}}$ مثبت هستند لذا $S_n'$ صعودی است پس $S_n'$ همگراست.
