آیا دانستن اینکه ۴۵٪ گروهی بالای ۳۰، ۵۵٪ بالای ۲۰ و ۱۰٪ بین ۱۰ تا ۲۰ سال سن دارند کافیست تا بدانیم چند نفر ۲۱ تا ۳۰ ساله اند؟

Question

در یک‌ جمع دوستانه ۴۵٪ بالای ۳۰ سال و ۵۵٪ بالای ۲۰ سال دارند.۱۰ درصد بقیه هم بین۱۰ تا ۲۰ سال دارند. در این جمع حداقل چند نفر بین ۲۱ تا ۳۰ سال داریم؟

بنظرتون کلیت این مسأله صحیح است؟

Comments

@mahdiahmadileedari نه پرسش درست طرح نشده‌است، کجا این پرسش را دیده‌اید. بدون اینکه نیاز به دادهٔ آخری باشد، از همان دو دادهٔ نخست $55-45=10$ درصد از افراد ۲۱ تا ۳۰ سال دارند. اما چون تعداد نفرات کل یا حتی تعداد نفرات هیچ یک از دسته‌ها در پرسش داده نشده‌است، نمی‌توان از این درصد کمک گرفت تا دانست چند نفر بین ۲۱ تا ۳۰ سال هستند.

Answer 1

پرسش به این شکلی که نوشته‌شده‌است ناقص به نظر می‌آید. اما اگر آن را به این شکل تصحیح کنیم که

اگر در گروهی ۴۵٪ افراد بالای ۳۰ سال و ۵۵٪ افراد بالای ۲۰ سال سن داشته‌باشند، آنگاه از میان عددهای ممکن برای تعداد افراد بین ۲۰ و ۳۰ سال، کمترین عدد چند است؟

توجه کنید که درصد تعداد افرادی که بین ۲۰ و ۳۰ سال عمر دارند برابر با $55\%-45\%=10\%$. اما این درصد زمانی به ما تعداد افراد را می‌دهد که تعداد کل افراد در گروه را بدانیم. فرض کنید تعداد کل افراد در این گروه $N$ باشد. آنگاه تعداد افرادی که دنبالش هستیم برابر با $N\times\frac{10}{100}$ است. اما اکنون نگاه کنیم که $N$ چه عددهایی می‌تواند باشد. برای نمونه اگر $N=1$ به مشکل برمی‌خوریم، نه؟ چون ٪۴۵ و ۵۵٪ از یک نفر ممکن نیست. توجه کنید که هنوز انسان چهل‌تکه که برخی تکه‌هایش جوان‌تر و برخی تکه‌هایش پیرتر باشند نداریم یا دست‌کم در تولید انبود نداریم ^_^

برای اینکه درصدهای ۴۵ و ۵۵ ممکن باشند باید $N$ و تعداد افراد در رده‌های نام‌برده شده باید ضریب‌های مناسبی باشند. فرض کنید تعداد افراد بالای ۳۰ سال $m_1$ و تعداد افراد بالای ۲۰ سال $m_2$ باشند. داریم

$$\begin{array}{l} \frac{m_1}{N}=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}\\ \frac{m_2}{N}=\frac{55}{100}=\frac{11}{20} \end{array}$$

پس $N$ باید مضربی از ک.م.م ۲۰ و ۲۰ باشد که خود ۲۰ است. اگر آن قسمت اضافی پرسش را هم در نظر می‌گرفیتم که ۱۰٪ افراد بین ۱۰ تا ۲۰ سال دارند و تعداد این افراد را با $m_3$ نمایش می‌دادیم آنگاه چون ساده‌شدهٔ کسرش $\frac{1}{10}$ می‌شد، $N$ می‌بایست مضرب ۱۰ هم باشد پس ک.م.م -ِ ۲۰ و ۲۰ و ۱۰ که باز هم همان ۲۰ می‌شود.

پس تا اینجا فهمیدیم که کوچکترین عدد ممکن برای تعداد کل افراد در این گروه ۲۰ است. در نتیجه تعداد افراد بین ۲۰ و ۳۰ سال از این گروه که دقیقا ۱۰٪ این گروه است برابر با $\frac{10}{100}\times 20=2$ است. این کوچکترین عدد ممکن برای این کمیت است.

توجه کنید که گفتنِ «در این جمع حداقل چند نفر فلان است» با «کمترین مقدار ممکن برای تعداد افراد فلان چند است» می‌تواند فرق داشته‌باشد. برای نمونه یکُمی می‌گوید مقدار دقیق این افراد معلوم نیست ولی کران پائینی برایش است ولی دومی می‌گوید که مقدار دقیق این افراد ممکن است ولی به خاطر نقص داده در فرض‌ها وابسته به چیزی دیگر است و به جای یک عدد چندین عدد می‌توان انتخاب کرد، کوچکترین آنها چیست؟