Question

حاصل $\lim_{x\to 0^+}\frac{\lfloor x\rfloor}{\lfloor x\rfloor}$ چیست؟

دامنۀ تابع $f(x) = \frac{\lfloor x\rfloor}{\lfloor x\rfloor}$ برابر با $\mathbb{R}-[0, 1)$ است. اگر بخواهیم حد راست این تابع را در نقطۀ $x = 0$ به‌دست بیاوریم، ابتدا باید توجه کنیم که این تابع باید در یک همسایگی راست $x = 0$ (مانند $(0, 1)$) تعریف شده باشد، ولی می‌بینید که با توجه به دامنۀ تابع، اینگونه نیست. پس حد راست تابع در این نقطه، موجود نیست. اما نرم‌افزار Wolfram Mathematica، عدد 1 را در خروجی نمایش می‌دهد:

همانطور که می‌بینید، حاصل این حد را با استفاده از دستور Limit، در این نرم‌افزار محاسبه کرده‌ام و نرم‌افزار در خروجی عدد 1 را نمایش داده‌است. در حالی که گفتیم که اصلاً تابع در این نقطه حد راست ندارد! آیا نرم‌افزار در حال انجام اشتباهی است؟ البته در وبگاه WolframAlpha نیز دقیقاً همین خروجی را نمایش می‌دهد. مشکل از کجاست؟

Comments

به نظر میرسد Wolframalpha از تعریف اپسیلون دلتایی حد استفاده می کند. در ووقع لازم‌نیست برای حدگیری حتما تابع در همسایگی‌ آن نقطه تعریف شده باشد. بلکه کافی است که نقطه حدی دامنه باشد. در اینجا هم صفر نقطه حدی هست. و اگر تعریف حد را بنویسید به انتفای مقدم گزاره شرطی در تعریف حد برقرار خواهد بود.
اما در دبیرستان تعریف متفاوت است و شرط آنکه تابع در یکی همسایگی محذوف آن نقطه تعریف شده باشد قرار می دهند. که در اینصورت به قول شما حد وجود ندارد.
لذا تناقضی که ذکر کردید یه تفاوت تعریف های حد برمی گردد.

---

تابع در همسایگی راست 0 تعریف نشده است.بنابراین نمی توان در مورد حد راست این تابع در 0 صحبت کرد.