اگر $Q$ ماتریس لاپلاسی یک گراف باشد رابطهٔ $\mu I-Q^c=\big((n-\mu)^{-1}J-I\big)\big((n-\mu)I-Q\big).$ درست است؟

Question

در کتاب آمده در بخش مرجع نتیجهٔ زیر نوشته شده‌است:

تابعِ $\sigma$یِ متمم: از برابریِ $Q+Q^c=nI-J$، داریم

$$\mu I-Q^c=\big((n-\mu)^{-1}J-I\big)\big((n-\mu)I-Q\big).$$

که با دترمینان گرفتن خواهیم داشت

$$(n-\mu)\sigma(\Gamma^c;\mu)=(-1)^{n-1}\sigma(\Gamma;n-\mu).$$

اکنون پرسش من این است که آیا رابطهٔ $\mu I-Q^c=\big((n-\mu)^{-1}J-I\big)\big((n-\mu)I-Q\big)$ درست است؟

در مورد نمادهای استفاده‌شده، یک گراف در نظر بگیرید و نام آن را $\Gamma$ بگذارید. $Q$ را ماتریس لاپلاسی آن قرار دهید. ماتریس لاپلاسی از روی ماتریس همسایگی ساخته می‌شود. به این شرح که اگر ماتریس همسایگی (مجاوری) گراف‌مان $A$ باشد، آنگاه $Q=\Delta-A$ که $\Delta$ ماتریس قطری‌است که درایه‌های روی قطرِ اصلی‌اش درجه‌های گره‌ها هستند. $J$ ماتریسی مربعی با همهٔ درایه‌ها برابر با ۱ است. $Q^c$ ماتریس لاپلاسی برای $\Gamma^c$ است و رابطهٔ $Q+Q^c=nI-J$ پیش‌تر در صفحهٔ ۴۱ کتاب اشاره شده‌است.

---

• عنوان پرسش پیش از ویرایش:

چند جمله ای مشخصه لاپلاسی هر گراف

• متن پرسش پیش از ویرایش:

چند جمله ای مشخصه لاپلاسی هر گراف را میتوان برحسب گراف مکمل آن نوشت \mu I-Q ^{c} = \big( \big(n- \mu \big) ^{-1} J-I \big) \big( \big(n- \mu \big)I-Q \big).

• مرجع‌دهی پیش از ویرایش:

6hAlgebraic graph theory,norman biggs page 43, exercise

Comments

@tahmine به ویرایشی که بر روی هر سه قسمت عنوان، متن و مرجع پرسش‌تان انجام دادم نگاه کنید. متن‌های پیشینتان را در زیر پرسش نگه داشتم تا تفاوت را بهتر متوجه شوید. پرسشی که بد و نامفهوم نوشته شود شانس پاسخ‌گرفتنش نیز به همان اندازه اپسیلونی خواهدبود!

Answer 1

پرانتز آخر باید پیش از $Q$ گذاشته شود. رابطهٔ دانسته‌شده را در نظر بگیرید.

\begin{align} Q+Q^c=nI-J &\Longrightarrow Q-nI+J=-Q^c\\ &\Longrightarrow Q-nI+J-\mu I=-Q^c-\mu I\\ &\Longrightarrow Q-(n-\mu)I+J=-Q^c-\mu I \end{align}

پس اگر رابطه درست باشد باید پس از انجام ضرب به $-(n-\mu)I+J$ برسیم.

\begin{align}\big((n-\mu)^{-1}J-I\big)\big((n-\mu)I-Q\big) &=(n-\mu)^{-1}(n-\mu)JI-(n-\mu)^{-1}JQ-(n-\mu)II+IQ\\ &= J-(n-\mu)^{-1}JQ-(n-\mu)I+Q \end{align}

توجه کنید که $JQ$ صفر می‌شود چون درایه‌های ماتریس حاصل جمع ستون‌های $Q$ است که یک عنصر آن درجهٔ گره و بقیهٔ عنصرها به ازای هر یک گرهٔ همسایه منفیِ یک و به ازای سایر گره‌ها صفر است، یعنی جمع آنها درجه منهای درجه پس صفر است. در نتیجه قسمتِ $-(n-\mu)^{-1}JQ$ ماتریس صفر و در جمع بی‌اثر است. این اثبات برابری‌ای که پرسیدید را کامل می‌کند.