تعریف دقیق دایره مثلثاتی
دایره مثلثاتی دایرهای به شعاع واحد است که مرکز آن در مبدأ مختصات قرار دارد.
$ \theta $
از محور x مثبت شروع میشود و خلاف جهت عقربههای ساعت میچرخد.
برای هر زاویه
$ \theta $
، نقطهای روی دایره مشخص میشود که مختصات آن:
$
(\cos \theta, \sin \theta)
$
است. این تعریف برای همه زاویهها (از ۰ تا ۳۶۰ درجه یا حتی بیشتر) برقرار است، نه فقط در ربع اول.
اثبات منطقی و هندسی برای همه ربعها
در ربع اول، مثلث قائمالزاویهای داریم که بهراحتی میتوانیم از طریق نسبتهای مثلثاتی بگوییم:
$\cos \theta$
طول ضلع مقابل =
$\sin \theta$
اما در ربعهای دیگر مثل ربع دوم (مثلاً زاویه
$120$
مثلث قائمالزاویه مستقیم نداریم. پس چطور مختصات نقطه را تعریف میکنیم؟
راهحل: استفاده از تعریف پارامتری دایره
دایره واحد را میتوان با پارامترهای زیر تعریف کرد:
$
x = \cos \theta,\quad y = \sin \theta
$
این تعریف از توابع مثلثاتی بهعنوان پارامترهای دایره میآید، نه از مثلث قائمالزاویه. یعنی:
اگر زاویهای
$\theta $
باشد، نقطهای روی دایره با این زاویه
، مختصاتش دقیقاً
$(\cos \theta, \sin \theta)$
است.
- این تعریف از حرکت روی دایره ناشی میشود، نه از مثلث.
مثال: زاویه ۱۲۰ درجه
- زاویه
$120^\circ$
در ربع دوم است.
- اگر از مبدأ شروع کنیم و ۱۲۰ درجه بچرخیم، به نقطهای در ربع دوم میرسیم.
- مختصات این نقطه طبق تعریف دایره مثلثاتی برابر است با:
$
(\cos 120^\circ, \sin 120^\circ) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
$
- این یعنی عرض (y) آن نقطه برابر با
$sin120$
است، حتی بدون مثلث قائمالزاویه.
چرا این تعریف معتبر است؟
چون توابع سینوس و کسینوس را میتوان بهصورت تحلیلی (با سریهای تیلور یا تعریفهای هندسی روی دایره) برای همه زاویهها تعریف کرد. در واقع:
- مثلث قائمالزاویه فقط برای زاویههای بین ۰ تا ۹۰ درجه کاربرد دارد.
- اما دایره مثلثاتی و تعریف پارامتری آن برای همه زاویهها معتبر است.
- این تعریف با هندسه تحلیلی و آنالیز ریاضی سازگار است و در فیزیک، مهندسی و ریاضیات پیشرفته استفاده میشود.
نتیجهگیری
توابع سینوس و کسینوس در دایره مثلثاتی از تعریف هندسی روی دایره میآیند، نه فقط از مثلث قائمالزاویه. بنابراین حتی در ربعهای دوم، سوم و چهارم، مقدار سینوس و کسینوس برابر با عرض و طول نقطه متناظر روی دایره هستند.
