خط $y=nx+1-n$ و سهمی $y=x^2-mx+m$ دارای نقطهٔ مشترکی مستقل از مقدار $m$ و $n$ هستند، جمع طول و عرض این نقطه چند می شود؟

Question

خط $ y=nx + 1 - n $ و سهمی $ y= x^{2} - mx + m $ به ازای همه مقادیر حقیقی $m$ و $n$ از نقطه ثابت $A$ می‌گذرند. مجموع طول و عرض نقطهٔ $A$ چند است؟

Comments

پاسخ نهایی شما2 می شود
راهنمایی:
چون سوال گفته به ازای همه مقادیرmوn پس دوتا جفت mوn دلخواه را اختیارکنید وبا جانشینی آنها عرض های دوتابع را مساوی هم قرار دهید مجموع طول وعرض نقطه مشترک جواب نهایی خواهد بود

Answer 1

$$\begin{array}{l} x^{2} - mx + m=nx + 1 - n\\ x^{2} -(m+n)x + m+n-1=0 \end{array}$$

چون مجموع ضرایب صفر است پس $x=1$ یک ریشه و ریشهٔ دیگر $x=m+n-1$ است که $x=1$ فقط مستقل از مقدارهای $m$ و $n$ است. اگر آن را در ضابطهٔ خط و یا سهمی قرار دهید، $y=1$ می‌شود که آن هم به $m$ و $n$ بستگی ندارد. این همان نقطهٔ $A$ است و مجموعِ خواسته‌شده 2 می‌شود.

Answer 2

$$y=nx+1-n \quad (1) $$ $$ y=x^{2} - mx + m \quad (2) $$

از دو رابطه بالا داریم: $$ m(1-x)+n(1-x)+(x^2-1)=0 $$ از آنجا که مستقل از m و n می باشه پس ضریب آن ها باید صفر باشد (هر یک از پرانتز صفر قرار دهید جواب مشترک هرسه جواب است) بنابراین $ x=1$ تنها حواب مشترک است برای محاسبه مولفه دوم A کافی است در یکی از روابط(1) یا (2) قرار دهیم.آنگاه $$y=1 \quad\Rightarrow x+y=2$$