واضح است که $\sin^{2n}x+\cos^{2n}x\leq (sin^2x+\cos^2x)^n=1^2=1$
و برای نامساوی سمت چپ از یک حالت خاص از نامساوی ین سن کمک میگیریم که می گوید اگر $a,b>0$ اعدادی حقیقی باشند آنگاه برای هر عدد طبیعی $n$ داریم
$(\frac{a+b}2)^n\leq \frac{a^n+b^n}2$
پس اگر قرار دهیم $a=\sin^2x$ و $b=\cos^2x$ در اینصورت داریم
$$(\frac 12)^n=(\frac{\sin^2x+\cos^2x}2)^n\leq \frac{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}2$$
که نامساوی سمت چپ را نتیجه می دهد.
