ابتدا برای اثبات $|a\sin x+b\cos x|\leq \sqrt{a^2+b^2}$
فقط کافی است نامساوی زیر را به روش بازگشتی ثابت کنید:
$$(a\sin x+b\cos x)^2\leq (a^2+b^2)(\sin ^2 x+\cos^2 x)$$
و در صورتی که به جای $b$ قرار دهید $-b$ داریم
$$|a\sin x-b\cos x|\leq \sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$$ .
در مورد نامساوی دوم نمیدونم چه سودی داره این نامساوی؟ یا شاید اشتباه نوشتین. ما همواره برای هر $x\in\mathbb R$ داریم $\sin^2x+\cos^2x=1$ لذا $\sin^2 n+\cos^2 n=1$ و لذا $\sin^2n+\cos^2n\leq 1$ و چون همیشه $\frac1{2^n-1}\leq 1=\sin^2n+\cos^2n$ لذا نامساوی دوم واضح است.
