اثبات نامساوی $ | sin \theta | \geq \frac{2}{\pi} | \theta | $

Question

برای هر $- \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ نشان دهید که : $$ | sin \theta | \geq \frac{2}{\pi} | \theta | $$

Answer 1

تابع $ \frac{sin x}{x} $ را در بازه ی $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ در نظر میگیریم ثابت میکنیم مشتقش منفی است لذا مقدار مینیمم تابع در نقطه ی $ \frac{\pi}{2}$ بدست می آید و برابر $ \frac{2}{\pi} $ است.

مشتق این تابع برابر است با $ \frac{xcos x-sinx}{ x^{2} } $ صورت منفی است. زیرا $x \leq tanx $ است یعنی $ xcos x \leq sinx $ است.

Comments

البته فکر کنم بهتر باشه که برای $x=0$ بگیم که واضحه(با جاگذاری) و برای $x\neq 0$ بقیه مطالب شما رو بیان کنیم. چون تابع $\sin x/x$ در صفر تعریف نشده است.