ثابت کنید $\frac{b-a}{1+a^2} < \arctan b - \arctan a < \frac{b-a}{1+a^2}$

Question

با فرض برقراری تمام شرایط قضیه مقدار میانگین رابطه زیر را اثبات کنید

$$\frac{b-a}{1+a^2} < \arctan b - \arctan a < \frac{b-a}{1+a^2}$$

Answer 1

بنابر قضیه ی مقدار میانگین $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ برای $c\in (0, 1)$ که $f(x)=\arctan x$ .

اما $f'(x)=\frac 1{1+x^2}$ که واضح است برای $x> 0$ نزولی و برای $x< 0$ صعودی است.

پس اگر $0< a< b$ داریم

$$\begin{align}\frac{b-a}{1+b^2}=f'(b)(b-a) &\leq \arctan b- \arctan a\\ &=f'(c)(b-a)\\ &\leq f'(a)(b-a)\\ &=\frac{b-a}{1+a^2}\end{align}$$

یا اگر $a< b< 0$ داریم

$$\frac{b-a}{1+a^2}\leq \arctan b-\arctan a=f'(c)(b-a)\leq\frac{b-a}{1+b^2}$$

اما در حالت کلی برای $a,b$ دلخواه که $a< b$ نامساوی مطلوب را نداریم زیرا اگر مثلا $a=-2$ و $b=1$ در اینصورت نامساوی $\frac 32=\frac{b-a}{1+b^2}\leq \frac{b-a}{1+a^2}=\frac 35$ برقرار نیست.

Comments

تابع f(x) arctanx همواره در دامنه اش صعودی است.