بنابر قضیه ی مقدار میانگین $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ برای $c\in (0, 1)$ که $f(x)=\arctan x$ .
اما $f'(x)=\frac 1{1+x^2}$ که واضح است برای $x> 0$ نزولی و برای $x< 0$ صعودی است.
پس اگر $0< a< b$ داریم
$$\begin{align}\frac{b-a}{1+b^2}=f'(b)(b-a)
&\leq \arctan b- \arctan a\\
&=f'(c)(b-a)\\
&\leq f'(a)(b-a)\\
&=\frac{b-a}{1+a^2}\end{align}$$
یا اگر $a< b< 0$ داریم
$$\frac{b-a}{1+a^2}\leq \arctan b-\arctan a=f'(c)(b-a)\leq\frac{b-a}{1+b^2}$$
اما در حالت کلی برای $a,b$ دلخواه که $a< b$ نامساوی مطلوب را نداریم زیرا اگر مثلا $a=-2$ و $b=1$ در اینصورت نامساوی
$\frac 32=\frac{b-a}{1+b^2}\leq \frac{b-a}{1+a^2}=\frac 35$ برقرار نیست.
