چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
151 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط asal4567
ویرایش شده توسط erfanm

$$ \frac{1}{2^{n-1}} \leq \sin^{2n} x+ \cos^{2n} x \leq 1$$

دارای دیدگاه توسط بی نام
+1
لطفا این نامساوی رو اصلاح کنید..n-1 روی 2 است.
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
درسته بهتره ویرایش بشه.
ولی$\frac{1}{2^{n-1}}> \frac{1}{2^n-1}$ رو هم داریم. درسته؟
دارای دیدگاه توسط erfanm
+1
اینجوری قشنگ تره!!!!!
دارای دیدگاه توسط OXIDE
+1
درسته ولی نامساوی بالا کلی تره

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

واضح است که $\sin^{2n}x+\cos^{2n}x\leq (sin^2x+\cos^2x)^n=1^2=1$

و برای نامساوی سمت چپ از یک حالت خاص از نامساوی ین سن کمک میگیریم که می گوید اگر $a,b>0$ اعدادی حقیقی باشند آنگاه برای هر عدد طبیعی $n$ داریم $(\frac{a+b}2)^n\leq \frac{a^n+b^n}2$

پس اگر قرار دهیم $a=\sin^2x$ و $b=\cos^2x$ در اینصورت داریم $$(\frac 12)^n=(\frac{\sin^2x+\cos^2x}2)^n\leq \frac{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}2$$ که نامساوی سمت چپ را نتیجه می دهد.

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
82 نفر آنلاین
1 عضو و 81 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 3657
بازدید دیروز: 5575
بازدید کل: 4698697
...