بردار و چگونگي نمايش آن

Question

سلام : تعريف كامل بردار چيه و يك بردار رو به چند روش نمايش ميدهند؟؟ ببخشيد اگه سوالم كليه !!!

Answer 1

بردار یک ساختار در ریاضیات است که هم شامل اندازه و هم جهت است در واقع به طور هندسی یک بردار را می توان به صورت یک خط جهت دار رسم کرد که اندازه برابر طول خط، و پیکان نماینگر جهت است.

بردار را معمولا با نماد $\overrightarrow{a}$ نمایش میدهیم.

تعریف:بردار با بعد $n$یک مجموعه مرتب از $n$ عنصر است که آنها را مولفه مینامیم. به طور مثال $A=( a_{1} ,..., a_{n} )$

در واقع هر نقطه در $\mathbb{R}^{n}$ نشان دهنده ی یک بردار است که انتهای بردار خود نقطه و ابتدای آن مبدا است. پس هر بردار را می توان به صورت یک ماتریس سطری یا ستونی نشان دهیم.

Answer 2

تعریف بردار: اعضای یک فضای برداری را یک بردار می نامند. (برای دیدن تعریف فضای برداری اینجا ، اینجا ، اینجا را ببینید)

ولی شما که (گویا) دبیرستانی هستید فقط با فضای برداری $\mathbb R^3$ و یا به طور کلی $\mathbb R^n$ ها باید آشنایی داشته باشید.

$\mathbb R^n$ ها فقط مثال های معروفی از یک فضای برداری هستند.

به عنوان مثال دیگر مجموعه تمام ماتریس های دو در دوی $\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$ که $a.b,c,d\in\mathbb R$ خود یک فضای برداری(با عمل جمع وضرب ماتریس ها) است. و اعضای آن(بردارهای آن) ماتریس هستند.

یا مثلا مجموعه تمام چندجمله ها در $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$ که $a_i\in\mathbb R$ خود یک فضای برداری(با عمل جمع و ضرب چندجمله ای ها) تشکیل می دهند که اعضای آن(بردارهای آن) چند جمله ای هستند.

پس همانطور که میبینید اینطور نیست که همیشه بتونیم بردارها رو به صورت هندسی نمایش بدیم.

ولی فضای اقلیدسی $\mathbb R^3$ این مزیت رو داره که میتونیم اعضایش را(بردارهایش را) به صورت هندسی نیز نمایش دهیم. چون اگر به هر نقطه $\overrightarrow{a}$ از فضای اقلیدسی(یا دستگاه دکارتی) میتونیم یک سه تایی مرتب $\overrightarrow{a}= (a_1,a_2,a_3)$ نسبت بدیم(که معمولا به عنوان مختصات این نقطه در نظر گرفته میشه) به طوریکه پاره خط جهت داری که از مبدا به آن نقطه وصل میشه رو بردار متناظر با آن نقطه می گوییم.

البته می توان به جای $(a_1,a_2,a_3)$ این بردار را به صورت ستونی نیز نمایش داد $\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}$.

Answer 3

یک ذره که در طول یک خط راست حرکت می کند فقط می تواند در دو جهت حرکت کند. ما می توانیم حرکت آن را در یک جهت مثبت و در جهت دیگر منفی درنظر بگیریم. برای ذراتی که در سه بعد حرکت می کنند، یک علامت منفی و یک علامت مثبت برای تعیین جهت حرکت کافی نیست. بنابراین باید از بردار استفاده کنیم.

یک بردار دارای جهت و بزرگی است، و از قواعد خاصی پیروی می کند. یک کمیت برداری، کمیتی است که جهت و بزرگی دارد و بنابراین، می تواند با استفاده از بردار نمایش داده شود. برخی کمیت های برداری در فیزیک عبارت اند از؛ جابه جایی، سرعت و شتاب.

البته همه ی کمیت های فیزیکی شامل جهت نیستند. برای مثال دما، فشار، انرژی، جرم، و زمان از جمله ی این کمیت ها هستند. ما این کمیت ها را اسکالر می نامیم. قواعد حاکم بر این کمیت ها از همان جبر معمولی پیروی می کند.