قضیه : به ازای هر عدد حقیقی مثبت$x$ و هر عدد طبیعی $n$ عدد حقیقی مثبتی چون $y$ وجود دارد که $y^n=x$ و $y$ یکتاست . و برای $y$ از نماد $ \sqrt[n]{x} $ استفاده می کنیم .
اثبات : برای $n=1$ حکم بدیهی است زیرا کافی است قرار دهیم $y=x$ . حال فرض کنید $n \geq 2$ . مجموعه
$$E= \lbrace t\in R^{+}\ |\ t^n < x\rbrace $$
را تعریف کنید . $E$ ناتهی است زیرا کافی است قرار دهیم
$t=\frac{x}{x+1}$ در این صورت $t^n< x$ . از طرفی $E$ از بالا کراندار است زیرا کافی است قراردهیم $v=x+1$ دراین صورت $v^n>v>x$ . پس $v$ کران بالایی برای $E$ است . بنابراین طبق اصل تمامیت $E$ دارای سوپرمم است . فرض کنید $y=sup(E)$ . نشان می دهیم $y^n=x$.
فرض خلف : $y^n \neq x$ پس دو حالت داریم :
حالت $1$ : $y^n< x$
با استفاده از استقرای ریاضی به راحتی می توان نشان داد اگر $a,b$ دو عدد حقیقی مثبت که $0< a< b$ و $n$ عددی طبیعی باشد آنگاه داریم :
$$b^n-a^n< n(b-a)b^{n-1}$$
حال قرار دهید $a=y$ و $b=y+h$ که $0< h< 1$ است و $h< \frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}$ . در این صورت $(y+h)^n< x$ . پس $y+h\in E$ که تناقض است .
حالت دوم : $y^n>x$ . عدد $k=\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}$ را در نظر بگیرید در این صورت $0< k< y$ . نشان می دهیم $y-k$ کران بالایی برای مجموعه$E$ است . زیرا فرض کنیم $s>y-k$ در این صورت با استفاده از نابرابری بالا داریم :
$$y^n-s^n \leq y^n-(y-k)^n< kny^{n-1}=y^n-x$$ پس $s^n>x$ از این رو $s\notin E$ پس برای هر $t\in E$ داریم $t \leq y-k$ .
یعنی $y-k$ کران بالایی برای $E$ است . پس $y \leq y-k$ که تناقض آشکار است .
پس $y^n=x$.
$y$ یکتاست . زیرا اگر $y_{1},y_{2}$ دو عدد حقیقی متمایز و مثبت باشند آنگاه $y_{1}^n \neq y_{2}^n$ .
حال نشان می دهیم $ x^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{x} $ . زیرا داریم :
$$(x^{ \frac{1}{n} })^n=\underbrace{x^{\frac 1n}\times x^{\frac 1n}\times\cdots \times x^{\frac 1n}}_{n-times }=x$$
از طرفی چون ریشه $n$ ام هر عدد یکتاست پس $ x^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{x} $
