به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
93 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده

معادله خطی زیر در مجموعه اعداد طبیعی فرد چند جواب دارد ؟ $$ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 100 $$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده
ویرایش شده توسط کیوان عباس زاده

فرض کنید $( x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} )$ جواب معادله خطی بالا در مجموعه اعداد طبیعی فرد باشد . پس اعداد طبیعی$ y_{1} , y_{2} , y_{3}, y_{4} $ وجود دارند که داریم: $$ \begin{align} x_{1} = 2y_{1}-1\\ x_{2} = 2y_{2}-1\\ x_{3} =2 y_{3}-1\\ x_{4} =2 y_{4} -1 \end{align} $$ پس داریم:$$(2y_{1}-1)+ (2y_{2}-1)+( 2 y_{3}-1)+( 2 y_{4} -1)=100 $$ $$2y_{1}+ 2y_{2}+ 2 y_{3}+ 2 y_{4} =104 $$ $$y_{1}+ y_{2}+ y_{3}+ y_{4} =52 $$ پس $(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4})$ جواب معادله $y_{1}+ y_{2}+ y_{3}+ y_{4} =52 $ در مجموعه اعداد طبیعی است . بنابراین تعداد جواب های معادله $ x_{1} + x_{2}+ x_{3} + x_{4}=100 $ در مجموعه اعداد طبیعی فرد برابر است با تعداد جواب های معادله $y_{1}+ y_{2}+ y_{3}+ y_{4} =52 $ در مجموعه اعداد طبیعی که برابر $ \binom{51}{3} $ است .

نکته : تعدا جواب های معادله $ x_{1} + x_{2}+ ... + x_{k}=n $ در مجموعه اعداد طبیعی برابر است با $ \binom{n-1}{k-1} $.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...