سوال هندسه دبیرستانی

Question

دو پاره خط برابر$ AB$و$CD$یکدیگر را در نقطه $M$قطع کرده اند. عمود منصف های دو پاره خط $BC$و$AD$یکیگر را در نقطه$N$قطه کرده اند.اگر نقطه$N$درون زاویهAMCباشدانگاه ثابت کنید$MN$نیم ساز زاویه $ AMC$ است.

Comments

شکل شما با متن پرسشتان تفاوت دارد!
N نقطهٔ برخورد عمودمنصف‌های دو پاره‌خط AD و BC است در شکل در حالیکه در متن پرسش نوشته‌اید نقطهٔ برخورد عمودمنصف‌های دو پاره‌خط AB و CD!

Answer 1

نکته‌ای که پرسش‌ساز می‌خواسته‌است استفاده کند استفاده از حالت تساوی دو مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک ضلع است لیکن حتی با برابر قرار دادن درازای (طول) دو پاره‌خط AB و CD به تنهایی نمی‌تواند از برابر بودن پاره‌خط واصل M و دو نقطهٔ برخورد عمودمنصف پاره‌خط‌ها بهره ببرد و به راحتی می‌توانید مثال نقض برای ادعایش بسازید مانند شکل زیر. در این شکل N داخل زاویهٔ AMC قرار می‌گیرد و درازای دو پاره‌خط AB و CD برابر هستند پس فرض‌ها مهیا اند ولی حکم برقرار نیست و MN نیمساز زاویهٔ AMC نمی‌شود.

Comments

در مثال شما BM باید برابر DM پس AMوCMبرابرند پس پهارضلعی MEFNمربع است پس MN نیمساز است.

---

اشتباه شما اینجا است که نقطهٔ برخورد دو پاره‌خط را میان آن دو فرض کرده‌اید. عمود منصف یک پاره‌خط آن را در میانه‌اش قطع می‌کند پس می‌توان ادعا کرد که AE=EB و CF=FD ولی هیچ فرضی در مسأله وجود ندارد که از آن بتوانید نتیجه بگیرید M با E و F برابر است!

---

درسته ولی به جواب من هم نگاهی بیندازید فکر نکنم اشکالی داشته باشه.

---

@Taha1381 متن پرسشتان به شکلی که بود، اشتباه بود و در بالا مثال نقض آن است. با اینکه شکل به پرسشتان افزوده‌اید و پرسش تبدیل به چیزی دیگر شده‌است ولی کماکان نوشتهٔ متن پرسشتان را تغییر نداده‌اید. یا متن پرسشتان را تصحیح کنید که در آن صورت من اشتباه نکرده‌ام بلکه صورت پیشین پرسشتان را پاسخ داده‌ام و در صورت تغییر دادن پرسشتان پاسخ سابقم را باید پاک کنم چون پرسش تغییر کرده‌است.

---

شرمنده لازم نیست پاسختان را حذف کنید روی سوال را هم تغییر می دم.

Answer 2

چون دو عمود منصف را رسم کرده ایم پس $BN=CN$ و $DN=AN$ طبق فرض سوال $DC=AB$ پس دو مثلث $ANB$ و $DNC$ همنهشت هستند که نتیجه می دهد زو ایای $ABN=NCD$ و $CDN=BAN$ که محاظی بودن دو چهارضلعی $ADMN$ و $CBMN$ را نتیجه می دهد.

همچنین از همنهشتی دو مثلث نتیجه می گیریم که زوایای $ANB=CND$ که با کم کردن زاویه $DNB$ داریم زوایای$AND=BNC$ که چون هر دو مثلث $NBC$ و $NAD$ متساوی الساقین هستند نتیجه می دهد زوایای$NAD=NCB$ که چون هر دو چهارضلعی محاطی هستند داریم زوایای$BMN=DMN$ که از کم کردن دو زاویه ی متقابل به راس $BMC$ و$DMA$ از طرفین نتیجه می شود که زوایای $AMN$ و $CMN$ برابرند که نتیجه می دهد $MN$ نیمساز زاویه ی $AMC$ است.