کنکور ریاضی $93$ سوال $6$

Question

نقطه ای با کدام طول بر روي محور $x$ ها انتخاب شود به طوری که تفاضل فواصل آن از دو نقطه ی $A(1,5)$ و $(7,-2)$ بیشترین مقدار را داشته باشد؟

1. $8$
2. $9$
3. $10$
4. $11$

Answer 1

حل این مساله ساده س,فقط کافیه فرمول فاصله,مشتق گیری وکاربردشو بلد باشیم:

میدانیم فرمول فاصله دو نقطه به مختصات: $A=( x_{1} , y_{1})=(1,5)$ و $B=( x_{2} , y_{2} )=(7,-2)$ برابر است با:

$$d_{AB}= \sqrt{( x_{A} - x_{B} )^{2} + ( y_{A} - y_{B} )^{2}}$$

پس حال فرض کنیم نقطه موردنظر برابر باشد با: $O=(x,0)$

پس داریم:

$$\begin{align}d_{OA} = \sqrt{ ( x_{O} - x_{A} )^{2} + ( y_{O} - y_{A} )^{2} }&= \sqrt{ (x-1)^{2} + (0-5)^2}\\ & = \sqrt{ (x-1)^{2} +25} \end{align}$$ و $$d_{OB} = \sqrt{ (x-7)^{2} + (0+2)^{2} } = \sqrt{ (x-7)^{2} +4}$$ حال از دو عبارت فوق تفاضل میگیریم: $$D= d_{OA} - d_{OB}= \sqrt{ (x-1)^{2}+25 } - \sqrt{ (x-7)^{2} +4}$$

حال برای آنکه این عبارت ماکزیمم شود ابتدامشتق گرفته سپس با استفاده از کاربرد مشتق , معادله حاصل را مساوی صفر قرار داده, xراپیدامیکنیم:

$$D'= \frac{x-1}{ \sqrt{ (x-1)^{2} +25} } - \frac{x-7}{ \sqrt{ (x-7)^{2} +4} }=0\\ \Rightarrow \frac{x-1}{ \sqrt{ (x-1)^{2} +25} } = \frac{x-7}{ \sqrt{ (x-7)^{2} +4} } \\ \Rightarrow (x-1) \sqrt{ (x-7)^{2} +4} =(x-7) \sqrt{ (x-1)^{2} +25} \\ \Rightarrow (x-1)^{2} ( (x-7)^{2} +4)= (x-7)^{2} ( (x-1)^{2} +25) \\ \Rightarrow (x-1)^{2} (x-7)^{2} +4 (x-1)^{2} = (x-7)^{2} (x-1)^{2} +25 (x-7)^{2} \\ \Rightarrow 5(x-7)= \mp 2(x-1)$$ $$\begin{cases}5(x-7)=2(x-1)\rightarrow x=11\\ 5(x-7)=-2(x-1) \rightarrow x= \frac{37}{7} \end{cases}$$

پس گزینه 4صحیح است.

Comments

البته چون فاصله مقداری مثبت است میتونستیم تفاضل مجذور فاصله ها رو مینیمم کنیم و اینجوری راحت تر بدست می آمد(دیگه رادیکال نداشتیم)

---

erfanm: میتونی راه حلتو بذاری؟

---

نه نمیتونم چون اشتباهه اون تفاضل بینشون کار رو خراب کرده.

---

گذاشتن قدرمطلق در این رابطه لازمه

Answer 2

روش دوم حل که به مسله دوم هرون معروف است:

اگر نقاط $A,B$ در یک طرف خط $d$ قرار داشته باشند برای یافتن نقطه ای روی $d$ مانند $P$ که تفاضل فواصل آن از $A,B$ یعنی $|PA-PB|$ ماکزیمم شود ، پاره خط $AB$ را امتداد میدهیم تا خط $d$ را قطع کند. نقطه ی تقاطع همان نقطه موردنظر است که به ازای آن حاصل $|PA-PB|$ برابر طول پاره خط $AB$ خواهد شد.

واما حل: چون دو نقطه $A,B$ در دو طرف خط $y=0$ قرار دارند پس نقطه $B$ را نسبت به $y=0$ قرینه میکنیم(فرقی نمیکند کدام نقطه) با این کار طول $PB$ تغییری نمیکند. سپس نقطه تلاقی امتداد پاره خط $AB'$ را با خط $y=0$ پیدا میکنیم.: $P=(x,0)$

$x$ یک جواب مسله است.