المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال $6$

Question

در شکل زیر $ M$ و $ N$ به ترتیب وسط های اضلاع $ AD $ و $ BC $ از مستطیل $ ABCD $ هستند. مساحت مستطیل چه مضربی از مساحت چهارضلعی هاشور خورده است؟

Answer 1

طول مستطیل را با $ a$ و عرض آن را با $ b $ نمایش میدهیم.

اگر نقاط $ A $ و $ N$ را به هم وصل کنیم براحتی نشان داده می شود که چهار ضلعی حاصل لوزی بوده و با کمی دقت و بکار گیری همنهشتی(تبدیل ناحیه همنهشتی به دو مثلث و مقایسه با قسمت متناظر هاشود نخورده دیگر لوزی) مشخص می شود مساحت ناحیه هاشور نصف مساحت لوزی است

برای بدست آوردن مساحت لوزی می توان مساحت نواحی زیر که با رنگ قرمز رنگ شده را بیابیم

یا از فرمول مساحت لوزی استفاده کنیم که بدست می آید که مساحت لوزی برابر

$ \frac{1}{2} \times a \times \frac{b}{2}= \frac{ab}{4} $ یعنی مساحت ناحیه هاشور خورده برابر $ \frac{ab}{8} $ است و لذا مساحت مستطیل 8 برابر مساحت ناحیه هاشور زده شده است