المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$20$

Question

مطابق شکل زیر خطوطی موازی اضلاع مثلث $ABC$ رسم کرده ایم تا مثلث $A' B'C'$ ایجاد شود، به گونه ای که محیطش نصف محیط$ABC$ باشد. طول $AB$ چند برابر طول $AD$ است؟

Answer 1

میشه 6. زیرا با توجه به شکل زیر، چون $D D ' || B E$ و $DB || D'E$ لذا چهار ضلعی $DBED'$ متوازی الضلاع است و بنابراین $DB=E D'$ .

از طرفی اگر $AD=x= A' D'$ ، (به دلیل اینکه $ADA' D'$ متوازی الاضلاعه )به سادگی می توان مشاهده کرد که سه مثلث کوچک ایجاد شده با هم، همنهشت اند. از این رو $BG=x$ .

اما با توجه به فرض صورت مسئله، چون اضلاع مثلث $A' B' C'$ موازی اضلاع مثلث $ABC$ است، لذا با توجه به تالس داریم:

$$AB=2 A' B'$$ اما داریم: $$A' B' + 2x = DB$$

$$DB=AB-x$$ لذا $$A' B' + 3x=2A' B'$$

در نتیجه

$$AB=6x$$ .