المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$23$

Question

طول اضلاع $AC$ ، $AB$ و $BC$ از مثلث $ABC$ به ترتیب $2،4$ و $\sqrt{7}$ است.خطی که وسط های $AB$ و $AC$ را بهم وصل میکند با خطی که از $B$ موازی با نیمساز $A$ رسم می شود در نقطه ی $D$ برخورد میکند. طول $AD$ چقدر است؟

Answer 1

با توجه به شکل زیر می توانیم نتیجه بگیریم که خط $TK$ موازی با پاره خط $BC$ است. بنابراین $B_{1} = A/2$

از طرفی با توجه به قضیه"در هر مثلث، نیمساز زاویه داخلی، ضلع روبرو به آنرا به نسبت دو ضلع زاویه قطع میکند" در مثلث $ADB$ داریم:

$$\frac{ِDB}{DA}= \frac{BT}{TA} =1$$ .

لذا $DB=TA$. از طرفی با توجه به قانون کسینوس در مثلث $ABC$ داریم: $$\cos A= \frac{13}{16}$$ .

همچنین در مثلث $ADB$ داریم:

$$AD^{2} = DB^{2} + AB^{2} - 2AD.AB \cos(A/2)$$ .

لذا $$AD= \frac{1}{\cos(A/2)} = \frac{4}{ \sqrt{29} }$$ .

Comments

بنده متوجه نشدم چرا $AD$ با$DB$ برابر است لطفا بیشتر توضیح بدید.