المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال$23$

Question

طول اضلاع $ AC $ ، $AB $ و $BC $ از مثلث $ ABC$ به ترتیب $2،4$ و $ \sqrt{7} $ است.خطی که وسط های $ AB $ و $ AC $ را بهم وصل میکند با خطی که از $ B$ موازی با نیمساز $ A $ رسم می شود در نقطه ی $ D $ برخورد میکند. طول $ AD $ چقدر است؟

Answer 1

با توجه به شکل زیر می توانیم نتیجه بگیریم که خط $ TK $ موازی با پاره خط $ BC $ است. بنابراین $ B_{1} = A/2 $

از طرفی با توجه به قضیه"در هر مثلث، نیمساز زاویه داخلی، ضلع روبرو به آنرا به نسبت دو ضلع زاویه قطع میکند" در مثلث $ ADB$ داریم:

$$ \frac{ِDB}{DA}= \frac{BT}{TA} =1 $$ .

لذا $ DB=TA $. از طرفی با توجه به قانون کسینوس در مثلث $ABC $ داریم: $$\cos A= \frac{13}{16} $$ .

همچنین در مثلث $ ADB$ داریم:

$$ AD^{2} = DB^{2} + AB^{2} - 2AD.AB \cos(A/2)$$.

لذا $$ AD= \frac{1}{\cos(A/2)} = \frac{4}{ \sqrt{29} } $$ .

Comments

بنده متوجه نشدم چرا $AD$ با$DB$ برابر است لطفا بیشتر توضیح بدید.