المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال $3$

Question

در مثلث $ ABC $ نقطه $ D $ روی ضلع $ BC $ به گونه ای قرار گرفته که زاویه های $ \widehat{BAD} $ و $ \widehat{CAD} $ و $ \widehat{ABC} $ باهم برابرند و طول پاره خط های $ BD $ و $ DC $ به ترتیب برابر 1 و 2 است. طول $ AB $ چقدر است؟

1) $ \sqrt{2} $

2) $ \sqrt{3} $

3) $ \frac{\sqrt{6} }{2} $

4) $ \frac{\sqrt{3} }{2}$

5) $ \frac{\sqrt{6} }{3}$

Answer 1

جواب میشه $ \frac{ \sqrt{6} }{2} $ . زیرا با توجه به شکل زیر، با توجه به قانون کسینوس و قضیه ای از هندسه " در هر مثلث، نیمساز زاویه داخلی، ضلع روبرو به آنرا به نسبت دو ضلع زاویه قطع میکند" یعنی: $ \frac{AB}{AC}= \frac{BD}{DC} $ . لذا نتیجه میشود $ AB= \frac{1}{2}AC $.

با توجه به قضیه کسینوسها در مثلث $ ABD$ داریم:

$ AB^{2} = 2(1+\cos A) $.

از طرفی در مثلث $ ADC $ با توجه به قانون کسینوسها داریم:

$ AC^{2}=5-4\cos A $.

لذا باتوجه به اینکه $ AB= \frac{1}{2}AC $ , و حل معادله ی حاصل از آن یعنی

$ 8+8\cos A=5 - 4\cos A $

داریم $ \cos A= \frac{-1}{4} $

و با جایگذاری آن در معادله اول به دست می اید $ AB= \frac{ \sqrt{6} }{2} $ .

Answer 2

اگر در مثلث $ ABC $ نیمساز راس $ A $ که آن را $ AD $ مینامیم رسم کنیم دو رابطه ی زیر همواره برقرار هستند(هندسه 2)

$$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} $$ $$ (AD)^{2} =AB.AC-BD.DC$$

حال چون در این سوال دو زاویه از مثلث کوچک $ ABD $ طبق فرض سوال برابرند لذا این مثلث متساوی الساقین است یعنی $ AD=BD=1 $ پس با جایگذاری مقادیر داده شده در دو رابطه بالا داریم:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} $ لذا $ 2AB=AC $

$ (1)^{2} =AB.AC-1 \times 2$ لذا $ 3=AB.AC $

پس با جایگذاری $ 2AB=AC $ در رابطه بدست آمده داریم :

$ 3=AB.(2AB) \Rightarrow \frac{6}{4} =\frac{3}{2} = (AB)^{2} $

یعنی

$ AB= \frac{ \sqrt{6} }{2} $

Answer 3

راه حل هایی که توسط دو عزیز در بالا داده شده است بسیار خوب است ولی راه ساده ی دیگری نیز وجود دارد ،که به این شرح است: نیمساز زاویه Dرا رسم می کنیم و محل برخورد آنرا با AC، را با حرف K نمایش میدهیم،بوضوح پیداست که نیمسازی که کشیدیم با خط AB موازی است ،طبق قضیه نیمساز ها ،نیمسازی که از زاویه Dرسم شد ضلع ACرا به نسبت 1 و2 تقسیم می کند ،طبق تالس(DK =$ \frac{2AB}{3} $(AB , و از طرف دیگر از تشابه دو مثلثADK وABD می توانیم DK را بدست آوریم که برابر با $ \frac{1}{AB} $ میشود ،با حل یک معادله ی ساده به جواب میرسیم.