المپیاد ریاضی دانش آموزی $92$(سی و دومین دوره) سوال $7$

Question

چوپانی گوسفند گرسنه ی خود را در چراگاهی سرسبز با سه طناب مختلف به سه درخت بسته است. گوسفند علف های همه ی قسمت هایی از چراگاه را که به آن دسترسی داشته را می خورد. ناحیه ای از چراگاه که گوسفند علف های آن را خورده است کدام شکل نمیتواند باشد؟

1)تک نقطه
2) 3)

4) 5)

Answer 1

جواب مسلما گزینه 5 هستش. چون گوسفنده تونسته از شکل 5 حداکثر مسافتی رو طی کنه و علف بخوره(گوشه بالای شکل) که در اینصورت باید برای سایر گوشه ها هم همچین مسافتی رو طی کنه، که نکرده(حل این مسئله با مفهوم مکان هندسی ارتباط تنگاتنگی داره)

Answer 2

مکان هندسی‌ای که این پرسش می‌سازد دقیقا برابر با اشتراک سه دایره‌ای است که به مرکزهای سه درخت و شعاع درازای ریسمان‌های متناظر می‌سازند. شکلِ زیر ممکن بودن چهار گزینهٔ نخست را ثابت می‌کند. برای ناممکن بودن گزینهٔ پنجم باید ثابت کنید که شکلِ آورده‌شده هیچ‌گاه به صورت اشتراک سه دایره درنمی‌آید. توجه کنید که شکل‌های (۳) و (۴) بیضی و سه‌گوش نیستند! علت اینکه شکل آخر اشتراک سه دایره نیست این است که محیط آن از چهار کمان حاصل شده‌است که چهار مرکز دایرهٔ متفاوت را به شما خواهند داد (مکان هندسیِ مرکز یک دایره تنها با داشتن سه نقطه از آن به طور یکتا مشخص می‌شود، یک تکه کمان بی‌نهایت نقطه از دایره را دربردارد، پس با یک تکه کمان از محیط دایره، مرکز دایره یکتا مشخص می‌شود).

Comments

پاسختان چه فرقی با پاسخ من دارد بغیر از اضافه کردن شکل؟

Answer 3

اگر $3$ طناب را به $3$ درخت با موقعیت مثلث سفت ببندد (یعنی طنابها هیچ آزادی نداشته باشد و این یعنی فاصله نقطه چرا کردن گوسفند از درخت ها برابر با طول طنابها باشد که هر نقطه ای در داخل مثلث یا بین درخت ها میتواند باشد.) آنگاه گزینه $1$ اتفاق می افتد.

اگر دو طناب بقدری دراز باشند تا در حرکت با طناب سوم محدودیتی ایجاد نکنند آنگاه محدوده دایره ای به مرکز درخت سوم و شعاع طناب سوم خواهد بود و گزینه $2$ اتفاق می افتد.

اگر فقط یک طناب بقدری دراز باشد تا در حرکت دو طناب دیگر محدودیتی ایجاد نکند محدوده حاصله شبیه بیضی خواهد شد و گزینه $3$ اتفاق می افتد.

اگر موقعیت $3$ درخت مثلث باشد و هر $3$ تناب حرکت را محدود کند بشرطی که سفت نکرده باشد و کمی آزادی داشته باشد گزینه $4$ اتفاق می افتد.

در آخر گزینه $5$ میماند که در آن محدودیتی مشاهده نمیشود.

Comments

فرمایشات شما همیشه واقع گرایانه است و البته بخواهیم از ریاضیات استفاده کنیم این گونه است.
ولی در مسائلی که حل میکنیم کمی با واقعیت فرق دارد و هر چیزی را چون محدودیت قائل میشویم مانند ماشین عمل میکند
در واقع ما با طرح مسئله اختیار را از بین میبریم
پس اگر احتمال پاره شدن طناب یا شکستن درخت در صورت مسئله مطرح نشود فرقی با زنجیر و تیرآهن ندارد

---

@salar دیدگاهتان یا مفهوم نیست یا چیزی اضافه نمی‌کند.

---

منظور از شل بودن طناب درازای طناب است و این ربطی بر گره یا مقاومت طناب ندارد.
هر دو دیدگاه شما امتیاز منفی دارد ولی من فقط دادن امتیاز مثبت را انجام میدهم.

---

@salar شُل و سفت بودن، درازا را تعیین نمی‌کند، مگر اینکه فکر کنید ریسمان را به جای بستن به دور تنهٔ درخت پیچانده‌باشند. در آن صورت باز هم هنوز بحث‌تان نادرست می‌شود چون باید ریسمان‌ها را با یک خاصیت اضافه فرض کنید که می‌توانند اتوماتیک دوباره دور تنه به همان اندازه که پیچانده بودید بچرخند!

امتیاز منفی برای پاسخ یا دیدگاه نادرست یا بی‌ربط است یا دارای عدم رعایت نکاتی مثل مرجع‌دهی درست، تایپ نکردن فرمول‌ها و غیره. اگر اشتباهی در دیدگاه‌هایم هست خوشحال می‌شوم که متوجه شوم.

مثلا برای ساختن حالت تک نقطه (مورد ۱) باید درازای سه ریسمان و مکان سه درخت طوری باشند که سه دایرهٔ رسم‌شده به مرکز سه درخت و به شعاع درازای رسمان متناظر درخت، تنها یکدیگر را در یک نقطه قطع کنند! و حرفی هم از شل و سفت و جنس ریسمان و خاصیت قرقره‌ای و اینها هم در کار نیست.

---

انگار ادامه دهم بحث را بر جنس ریسمان و نوع درختان خواهید کشاند.