کنکور ریاضی $93$ سوال $4$ مساحت مثلثی به اضلاع $9,7,12$

Question

مساحت مثلثی به اضلاع $9,7,12 $ کدام است؟

1. $15\sqrt2 $
2. $ 14\sqrt3 $
3. $ 12\sqrt5 $
4. $ 14\sqrt5 $

Answer 1

قرار می دهیم:

$$ p= \frac{a+b+c}{2} $$

که در آن a,b,c طول اضلاع مثلث هستند. لذا

$$p =( 9+7+12)/2 = 14 $$

از طرفی رابطه زیر را برای محاسبه مساحت مثلث داریم:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{14\times2\times7\times5} = 14 \sqrt{5} $$

Comments

ممنون. فکر کنم این فرمول به فرمول هرون معروف هست.

---

بله اسمش فرمول هرون هست.

Answer 2

اضلاع مثلث را a=12 , b=7 , c=9 می نامیم و زاویه مقابل به ضلع a=12 را $ \alpha $ در نظر می گیریم و در نهایت با استفاده از فرمول مقابل $a^2=b^2+c^2-2a.c.cos \alpha $ کسینوس زاویه$ \alpha $ را پیدا کرده و با فرمول $sin \alpha = \sqrt[]{1-cos^2 \alpha } $ نیز سینوس زاویه $ \alpha $ را می یابیم و به وسیله فرمول$S= \frac{1}{2} a.c.sin \alpha $ مساحت مثلث را می یابیم .

1. مرحله اول :

$144=49+81-2 \times 7 \times 9 \times cos \alpha $ که داریم $cos \alpha = \frac{1}{9} $

2. مرحله دوم :

$sin \alpha = \sqrt{1- \frac{1}{81}} = \sqrt{ \frac{80}{81}}= \frac{4 \sqrt{5} }{9} $

3. مرحله سوم :

$S= \frac{1}{2} \times 9 \times 7 \times \frac{4 \sqrt{5} }{9}=14 \sqrt{5} $

بنابراین گزینه 4 جواب درست است .