کنکور رشته ریاضی سال $93$ سوال $1$

Question

حاصل عبارت $ ( \sqrt{2- \sqrt{3} } + \sqrt{2+ \sqrt{3} }). \sqrt[3]{2 \sqrt{2} } $ کدام است؟

1)$ \sqrt{3} $

2) $ 2 $

3)$ 2\sqrt{3}$

4) $1+\sqrt{3} $

Comments

سوالو درست نوشتین؟ چون انگار یک پرانتز کمه

Answer 1

جواب گزینه 3 میشه.

داریم $ \sqrt[3]{2 \sqrt[2]{2} } = \sqrt[6]{8}= \sqrt{2} $ .

قرار می دهیم $ A = ( \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt[]{2 - \sqrt{3} }) \sqrt{2} $ .

با به توان رسانیدن طرفین به توان 2 داریم:

$A^{2} =12 $ ، لذا $ A= 2\sqrt{3} $ .

Comments

ایا این گرینه  رو میشه با جاگذاری مقادیر تقریبی به دست اورد ؟

Answer 2

حل به روش راديكال هاي مركب

ياد آوري

$ \sqrt{A+ \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } + \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $

$ \sqrt{A- \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } - \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $

$C= \sqrt{ A^{2}-B } $

پس

$ \sqrt{2+ \sqrt{3} }= \sqrt{ \frac{3}{2} } + \frac{ \sqrt{2} }{2} $

$ \sqrt{2- \sqrt{3} }= \sqrt{ \frac{3}{2} } -\frac{ \sqrt{2} }{2} $

ودر ضمن $ \sqrt[3]{2 \sqrt{2} }= \sqrt{2} $

حال حل سوال

${ \sqrt{2- \sqrt{3} }+ \sqrt{2- \sqrt{3} }) \sqrt[3]{2 \sqrt{2} } }= (\sqrt{ \frac{3}{2} }- \frac{ \sqrt{2} }{2} + \sqrt{ \frac{3}{2} }+ \frac{ \sqrt{2} }{2} ) \sqrt{2} $

$ \ \Rightarrow \sqrt{3} + \sqrt{3} =2 \sqrt{3} $

Answer 3

1. مرحله اول :

$ \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}= \sqrt[6]{8}=2^{ \frac{3}{6}}=2^ \frac{1}{2}= \sqrt{2} $

2. مرحله دوم :

$ \sqrt{2- \sqrt{3} } + \sqrt{2+ \sqrt{3} }= \sqrt{ \frac{3}{2}+2 \times \frac{1}{ \sqrt{2} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } + \frac{1}{2}}+\sqrt{ \frac{3}{2}-2 \times \frac{1}{ \sqrt{2} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2} }+ \frac{1}{2}}= \sqrt{( \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2}}+ \frac{1}{ \sqrt{2}})^2}+\sqrt{( \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2}}- \frac{1}{ \sqrt{2}})^2} =\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2}}+ \frac{1}{ \sqrt{2}}+\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{2}}- \frac{1}{ \sqrt{2}}= \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } $

3. مرحله سوم : (حاصل مراحل یک و دو را در هم ضرب می کنیم )

$ \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } \times \sqrt{2} =2 \sqrt{3} $

بنابراین گزینه 3 درست است .