باتوجه به صورت مساله,قرار میدهیم:
\mid x-3 \mid+2 < \sqrt{5+4x- x^{2} }
طرفین نامعادله را به توان 2 رسانده ,با استفاده از اتحاد ساده میکنیم:
( | x-3| +2)^{2} < ( \sqrt{5+4x- x^{2} } )^{2}\\
x^{2} -6x+9+4+4 | x-3 | < 5+4x- x^{2} \\
2 x^{2}-10x+8+4 | x-3 | < 0
حال طبق خاصیت قدر مطلق دو حالت در نظر میگیریم:
1) x \geq 3
در اینصورت 2 x^{2} -10x+ 8+4(x-3) < 0 پس x^{2} -3x-2 < 0
حال به استفاده از تعیین علامت
\frac{3- \sqrt{17} }{2} < x < \frac{3+ \sqrt{17} }{2}
چون x \geq 3
پس:بازه [3, \frac{3+ \sqrt{17} }{2}) قابل قبول است.
2)اگر x < 3
آنگاه
\begin{align}
2x^{2} -10x+8+4(-x+3)&=2 x^{2} -10x+8+12-4x \\
&= x^{2} -7x+10 < 0
\end{align}
حال با استفاده از تعیین علامت داریم:
2 < x < 5
چون x < 3
پس: بازه (2,3) قابل قبول است.
درنتیجه بازه (2, \frac{3+ \sqrt{17} }{2} ) قابل قبول است.
توجه:میتوان با استفاده از شکل هندسی ویافتن نقاط تقاطع دونیز مساله را به شکل ساده تری حل کرد.
