باتوجه به صورت مساله,قرار میدهیم:
$$ \mid x-3 \mid+2 < \sqrt{5+4x- x^{2} } $$
طرفین نامعادله را به توان 2 رسانده ,با استفاده از اتحاد ساده میکنیم:
$$ ( | x-3| +2)^{2} < ( \sqrt{5+4x- x^{2} } )^{2}\\
x^{2} -6x+9+4+4 | x-3 | < 5+4x- x^{2} \\
2 x^{2}-10x+8+4 | x-3 | < 0 $$
حال طبق خاصیت قدر مطلق دو حالت در نظر میگیریم:
1) $ x \geq 3 $
در اینصورت $2 x^{2} -10x+ 8+4(x-3) < 0 $ پس $ x^{2} -3x-2 < 0 $
حال به استفاده از تعیین علامت
$ \frac{3- \sqrt{17} }{2} < x < \frac{3+ \sqrt{17} }{2} $
چون $ x \geq 3 $
پس:بازه $ [3, \frac{3+ \sqrt{17} }{2}) $ قابل قبول است.
2)اگر $x < 3 $
آنگاه
$$\begin{align}
2x^{2} -10x+8+4(-x+3)&=2 x^{2} -10x+8+12-4x \\
&= x^{2} -7x+10 < 0
\end{align}$$
حال با استفاده از تعیین علامت داریم:
$2 < x < 5 $
چون $x < 3 $
پس: بازه $(2,3) $ قابل قبول است.
درنتیجه بازه $(2, \frac{3+ \sqrt{17} }{2} ) $ قابل قبول است.
توجه:میتوان با استفاده از شکل هندسی ویافتن نقاط تقاطع دونیز مساله را به شکل ساده تری حل کرد.
