حل این مساله ساده س,فقط کافیه فرمول فاصله,مشتق گیری وکاربردشو بلد باشیم:
میدانیم فرمول فاصله دو نقطه به مختصات: $A=( x_{1} , y_{1})=(1,5) $ و $ B=( x_{2} , y_{2} )=(7,-2) $
برابر است با: $$ d_{AB}= \sqrt{( x_{A} - x_{B} )^{2} + ( y_{A} - y_{B} )^{2}} $$
پس حال فرض کنیم نقطه موردنظر برابر باشد با: $ O=(x,0) $
پس داریم:
$$ \begin{align}d_{OA} = \sqrt{ ( x_{O} - x_{A} )^{2} + ( y_{O} - y_{A} )^{2} }&= \sqrt{ (x-1)^{2} + (0-5)^2}\\
& = \sqrt{ (x-1)^{2} +25} \end{align} $$
و
$$d_{OB} = \sqrt{ (x-7)^{2} + (0+2)^{2} } = \sqrt{ (x-7)^{2} +4}$$
حال از دو عبارت فوق تفاضل میگیریم:
$$D= d_{OA} - d_{OB}= \sqrt{ (x-1)^{2}+25 } - \sqrt{ (x-7)^{2} +4} $$
حال برای آنکه این عبارت ماکزیمم شود ابتدامشتق گرفته سپس با استفاده از کاربرد مشتق , معادله حاصل را مساوی صفر قرار داده, xراپیدامیکنیم:
$$ D'= \frac{x-1}{ \sqrt{ (x-1)^{2} +25} } - \frac{x-7}{ \sqrt{ (x-7)^{2} +4} }=0\\
\Rightarrow \frac{x-1}{ \sqrt{ (x-1)^{2} +25} } = \frac{x-7}{ \sqrt{ (x-7)^{2} +4} } \\
\Rightarrow (x-1) \sqrt{ (x-7)^{2} +4} =(x-7) \sqrt{ (x-1)^{2} +25} \\
\Rightarrow (x-1)^{2} ( (x-7)^{2} +4)= (x-7)^{2} ( (x-1)^{2} +25) \\
\Rightarrow (x-1)^{2} (x-7)^{2} +4 (x-1)^{2} = (x-7)^{2} (x-1)^{2} +25 (x-7)^{2} \\
\Rightarrow 5(x-7)= \mp 2(x-1) $$
$$ \begin{cases}5(x-7)=2(x-1)\rightarrow x=11\\
5(x-7)=-2(x-1) \rightarrow x= \frac{37}{7} \end{cases} $$
پس گزینه 4صحیح است.
