به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده خرداد ۳, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط saderi7
ویرایش شده خرداد ۱۱, ۱۳۹۶ توسط saderi7
58 بازدید

میخواهیم چند تا از انتگرال های آشنا رو باهم حل کنیم .

$$\text{Question1}: \ \ \ \int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+a^2} }dx=? \ \ \ a\in \mathbb{R} $$
$$ I=\int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+a^2} }dx \tag{1}$$

ابتدا متغییر را تغییر میدهیم :

$$x=a\tan t \to dx=a\sec^2t dt$$

باز سازی انتگرال :

$$ I=\int \dfrac{a\sec^2t }{ \sqrt{a^2\tan^2 t+a^2} }dt=\int \dfrac{\sec^2t}{\sqrt{\tan^2 t+1} }dt$$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده میکنیم :

$$\tan^2t+1=\sec^2 t$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ I=\int \dfrac{\sec^2t }{ \sec t }dt= \int \sec t dt=\ln (|\tan t+\sec t|)+k$$

از $ (1)$ داریم :

$$x=a\tan t \to \tan t =\dfrac{x}{a}$$ $$\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ I= \ln (|\tan t+\sec t|)+k=\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a})+k$$

از خاصیت لگاریتم استفاده میکنیم :

$$\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a})+k=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln(a)+k$$ $$-\ln(a)+k=c$$
$$\text{Answer 1}: \ \ \ I=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+c$$

$$\text{Question2}: \ \ \ \int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-a^2} }dx=?\ \ \ a\in \mathbb{R} $$
$$ J=\int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-a^2} }dx \tag{1}$$

ابتدا متغییر را تغییر میدهیم :

$$x=a\sec t \to dx=a\sec t. \tan t dt$$

باز سازی انتگرال :

$$ J=\int \dfrac{a\sec t .\tan t }{ \sqrt{a^2\sec^2 t-a^2} }dt=\int \dfrac{a\sec t.\tan t}{\sqrt{a^2 \tan^2 t} }dt$$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده میکنیم :

$$\tan^2t+1=\sec^2 t$$ $$\sec^2 t-1=\tan^2 t$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ J=\int \dfrac{a\sec t.\tan t}{\sqrt{a^2 \tan^2 t} }dt= \int \sec t dt=\ln (|\sec t+\tan t|)+k$$

از $ (1)$ داریم :

$$x=a\sec t \to \sec t =\dfrac{x}{a}$$ $$\tan t=\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$ J= \ln (|\sec t+\tan t|)+k=\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a})+k$$

از خاصیت لگاریتم استفاده میکنیم :

$$\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a})+k=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln(a)+k$$ $$-\ln(a)+k=c$$
$$\text{Answer 2}: \ \ \ J=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+c$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...