میخواهیم چند تا از انتگرال های آشنا رو باهم حل کنیم .
$$\text{Question1}: \ \ \ \int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+a^2} }dx=? \ \ \ a\in \mathbb{R} $$
$$ I=\int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2+a^2} }dx \tag{1}$$
ابتدا متغییر را تغییر میدهیم :
$$x=a\tan t \to dx=a\sec^2t dt$$
باز سازی انتگرال :
$$ I=\int \dfrac{a\sec^2t }{ \sqrt{a^2\tan^2 t+a^2} }dt=\int \dfrac{\sec^2t}{\sqrt{\tan^2 t+1} }dt$$
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده میکنیم :
$$\tan^2t+1=\sec^2 t$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$ I=\int \dfrac{\sec^2t }{ \sec t }dt= \int \sec t dt=\ln (|\tan t+\sec t|)+k$$
از $ (1)$ داریم :
$$x=a\tan t \to \tan t =\dfrac{x}{a}$$
$$\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$ I= \ln (|\tan t+\sec t|)+k=\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a})+k$$
از خاصیت لگاریتم استفاده میکنیم :
$$\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a})+k=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln(a)+k$$
$$-\ln(a)+k=c$$
$$\text{Answer 1}: \ \ \ I=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+c$$
$$\text{Question2}: \ \ \ \int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-a^2} }dx=?\ \ \ a\in \mathbb{R} $$
$$ J=\int \dfrac{1}{ \sqrt{x^2-a^2} }dx \tag{1}$$
ابتدا متغییر را تغییر میدهیم :
$$x=a\sec t \to dx=a\sec t. \tan t dt$$
باز سازی انتگرال :
$$ J=\int \dfrac{a\sec t .\tan t }{ \sqrt{a^2\sec^2 t-a^2} }dt=\int \dfrac{a\sec t.\tan t}{\sqrt{a^2 \tan^2 t} }dt$$
از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده میکنیم :
$$\tan^2t+1=\sec^2 t$$
$$\sec^2 t-1=\tan^2 t$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$ J=\int \dfrac{a\sec t.\tan t}{\sqrt{a^2 \tan^2 t} }dt= \int \sec t dt=\ln (|\sec t+\tan t|)+k$$
از $ (1)$ داریم :
$$x=a\sec t \to \sec t =\dfrac{x}{a}$$
$$\tan t=\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$ J= \ln (|\sec t+\tan t|)+k=\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a})+k$$
از خاصیت لگاریتم استفاده میکنیم :
$$\ln(\dfrac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a})+k=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})-\ln(a)+k$$
$$-\ln(a)+k=c$$
$$\text{Answer 2}: \ \ \ J=\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+c$$
