$$\text{Question1}: \ \ \ \int \dfrac{\sin(x)}{\sin (x+a)} dx=? \ \ \ \ a\in \mathbb{R}$$
ابتدا تعریف میکنیم :
$$ I:=\int \dfrac{\sin(x)}{\sin (x+a)} dx $$
کاری میکنیم که کمان سینوس در مخرج $(x+a)$ در صورت ایجاد شود یعنی :
$$x:=(x+a)-a$$
حال انتگرال را بازسازی میکنیم :
$$ I=\int \dfrac{\sin \big((x+a)-a\big) }{\sin (x+a)} dx $$
از اتحاد مثلثاتی داریم :
$$\sin(p-q)=\sin p\cos p-\cos p\sin q$$
در نتیجه :
$$ I=\int \dfrac{\sin (x+a)\cos a-\cos (x+a)\sin a}{\sin (x+a)} dx $$
$$ I=\int \cos a-\sin a\cot(x+a) dx $$
$$ I=\cos a\int dx -\sin a \int\cot(x+a) dx $$
در پایان خواهیم داشت :
$$\text{Answer 1} :\ \ \ I=x\cos a-(\sin x)\ln |\big(\sin (x+a)\big)| +c$$
$$\text{Question2}: \ \ \ \int \dfrac{\sin(x-a)}{\cos(x+a)} dx=? \ \ \ \ a\in \mathbb{R}$$
ابتدا تعریف میکنیم :
$$ I:=\int \dfrac{\sin(x-a)}{\cos (x+a)} dx $$
کاری میکنیم که کمان کسینوس در مخرج $(x+a)$ در صورت ایجاد شود یعنی :
$$x-a:=(x+a)-2a$$
حال انتگرال را بازسازی میکنیم :
$$ I=\int \dfrac{\sin \big((x+a)-2a\big) }{\cos (x+a)} dx $$
از اتحاد مثلثاتی داریم :
$$\sin(p-q)=\sin p\cos p-\cos p\sin q$$
در نتیجه :
$$ I=\int \dfrac{\sin (x+a)\cos 2a-\cos (x+a)\sin 2a}{\cos (x+a)} dx $$
$$ I=\int \big(\tan (x+a)\big) \cos 2a -\sin 2adx $$
$$ I=\cos 2a\int \big(\tan (x+a)\big) dx -\sin 2a \int dx $$
در پایان خواهیم داشت :
$$\text{Answer 2} :\ \ \ I=\cos 2a \big(\ln |\big(\sec (x+a)\big)|\big) -x\sin 2a+c$$
تمرین : انتگرال های زیرا بدست بیاورید ( روش همان روش قبلی است )
$$\text{Question3}: \ \ \ \int \dfrac{\sin (x-a)}{\sin(x-b)} dx=? \ \ \ \ a,b\in \mathbb{R}$$
$$\text{Question4}: \ \ \ \int \dfrac{1}{\sin (x-a)\cos(x-b)} dx=? \ \ \ \ a,b\in \mathbb{R}$$
$$\text{Question5}: \ \ \ \int \dfrac{1}{\cos (x+a)\cos(x+b)} dx=? \ \ \ \ a,b\in \mathbb{R}$$
