به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
ارسال شده خرداد ۲۵, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط
ویرایش شده شهریور ۲۷, ۱۳۹۶ توسط
918 بازدید

$\newcommand*{\boxcolor}$ $\require{cancel}$

$$\large\mathscr{IN THE NAME OF \color{teal}{ ALLAH} }$$

تعاریف توان : $${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}} \big) \ : {{r}^{\color{teal}{n}} }{}:=\begin{cases} r & n=1 \\ \big(r^{n-1}\big)\cdot r & n\neq 1 \end{cases}}} \tag{Def 1}$$

حالت خاص :

در صورتی که $n=2$ : مربع عدد $(r)$ یا مجذور عدد $(a)$ گوییم .

در صورتی که $n=3$ : مکعب عدد $(r)$ گوییم .


حال میخواهیم عبارت توانی را بسط بدهیم طوری که عبارت توانی صفر هم داشته باشیم . برای این عمل به تعریف قبلی رجوع میکنیم .

تعریف کردیم که اگر $n\neq 1$ باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$r^n=(r^{n-1})\cdot r$$

اگر $n= 1$ قرار دهیم . عبارت توانی صفر ایجاد میشود . یعنی :

$$r^1=(r^{0})\cdot r$$

اما ما تعریف کردیم که اگر $n= 1$ باشد . آنگاه :

$$r^1= r$$

بنابراین باید عبارت توانی صفر را به صورت زیر تعریف کنیم :

$${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \color{teal}{\{0\}}} \big) :{r}^{\color{teal}{ {}0}}:=1}}\tag{Def 2} $$

باز هم علاقمند هستیم که عبارت توانی را بسط دهیم طوری که عبارت توانی صحیح منفی هم داشتته باشیم برای این عمل باز هم به تعاریف قبلی رجوع میکنیم . تعریف کردیم که اگر $n\in \mathbb{N}$ باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$r^n=(r^{n-1})\cdot r$$

اگر $n= 0$ قرار دهیم . عبارت توانی منفی یک ایجاد میشود . یعنی :

$$r^0=(r^{-1})\cdot r$$

بنابراین باید عبارت توانی منفی یک را به صورت زیر تعریف کنیم :

$${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \{0\}} \big) :{r}^{\color{teal}{\large {}-1}}:=\dfrac{r^0}{r}=\dfrac{1}{r}}}\tag{Def 3} $$

به عنوان اصل میپذیریم که :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \{0\}},n\in \mathbb{N} \big) :{r}^{\color{teal}{\large {}-n}}:=\big(r^{-1} \big)^n}}\tag{Axiom 1} $$

اگر عبارت $ \Large{x^{\color{red}{y}}} $ در یکی تعاریف $(1,2,3)$ صدق کند آنگاه :

$\checkmark $ عبارت $\Large{x^{\color{red}{y}}}$ را عبارت توانی صحیح گوییم .


با توجه به وجود ریشه $n$اُم خواهیم داشت :

  • به ازای هر عدد حقیقی و نامنفی $a \geq 0 \in \mathbb{R}$ و هر عدد طبیعی $2n : n \in \mathbb{N}$

    وجود دارد یک عدد حقیقی نامنفی یکتا $r \geq 0 \in \mathbb{R}$ به طوری که :

$$r^{\large{(2n)}}=a$$

تعریف:

عدد حقیقی نامنفی و یکتا $r$ را ریشه $(2n)$اُم اصلی عدد حقیقی نامنفی $a$ گوییم .

و به صورت زیر نمایش میدهیم :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{ \sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n}}]{{a}}:=r}}\tag{Def 4} $$

بخوانید:

$\large{\sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n}}]{{a}}}$ :

$\checkmark $ رادیکالِ $(a)$ به فرجهِ $(2n)$

حالت خاص :

در صورتی که $n=1$ :

جذر عدد $(a)$ یا رادیکال عدد$(a)$ گوییم و از نوشتن فرجه خودداری میکنیم .

$\checkmark $ ریشه $(2n)$ اُم اصلی عدد حقیقی نامنفی $(a)$


به عنوان اصل میپذیریم که :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{ \sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n}}]{{a}}:=a^{\large{1/(\color{red}{2n})}}=r}}\tag{Axiom 1} $$
  • به ازای هر عدد حقیقی و مثبت $r > 0\in \mathbb{R}$ و هر عدد طبیعی $2n:n\in \mathbb{N}$

    وجود دارد یک عدد حقیقی منفی یکتا $r < 0\in \mathbb{R}$ به طوری که :

$$r^{\large{(2n)}}=a$$

تعریف:

عدد حقیقی منفی و یکتا $r$ را ریشه $(2n)$اُم فرعی عدد حقیقی مثبت $a$ گوییم .

تذکر:

در این حالت برای $r$ نمایش ریاضی نداریم !


  • به ازای هر عدد حقیقی $a\in \mathbb{R}$ و هر عدد طبیعی $2n-1:n\in \mathbb{N}$

    وجود دارد یک عدد حقیقی یکتا $r \in \mathbb{R}$ به طوری که :

$$r^{\large{(2n-1)}}=a$$

تعریف:

عدد حقیقی و یکتا $r$ را ریشه $(2n-1)$اُم عدد حقیقی $a$ گوییم .

و به صورت زیر نمایش میدهیم :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{ \sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n-1}}]{{a}}:=r}}\tag{Def 5} $$

بخوانید :

$\large{\sqrt[\color{teal}{\LARGE{2n-1}}]{{a}}}$ :

$ \checkmark $ رادیکالِ $(a)$ به فرجهِ $(2n-1)$

$ \checkmark $ ریشه $(2n-1)$ اُم عدد حقیقی $(a)$


به عنوان اصل میپذیریم که :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{ \sqrt[\color{red}{\LARGE{2n-1}}]{{a}}:=a^{\large{ 1/(\color{teal}{2n-1})}}=r}}\tag{Axiom 2} $$

اگر عبارت $\Large{x^{\color{red}{y}}}$ در یکی از تعاریف $(4,5)$ صدق کند آنگاه :

$\checkmark $ عبارت $\Large{x^{\color{red}{y}}}$ را عبارت رادیکالی گوییم .


به عنوان اصل میپذیریم که :

اگر :

$a^{\color{teal}{m}} \ \ \ \checkmark$ عبارت توانی صحیح باشد .

$a^{\large{1/(\color{teal}{n})}} \ \ \ \checkmark$ عبارت رادیکالی باشد .

آنگاه :

$$\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\large{\big(a^{\large{1/(\color{teal}{n})}}\big)^m=\big( a^m\big)^{\large{1/(\color{teal}{n})}}=a^{\large{m/(\color{teal}{n})}}}}\tag{Axiom 3} $$

[قضیه][2] پیشنهادی برای تعمیم توان به ما میدهد :

$$ \bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall\ a > 1 ,x\in \mathbb{R}}\big)}$$

$$ \bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{a^{\color{teal}{x}}:=\color{teal}{\sup} \ \{a^r;r\in \mathbb{Q}, r<\color{teal}{x} \}=\color{teal}{\inf} \ \{a^r;r\in \mathbb{Q}, r>\color{teal}{x} \}}\tag{Def 6} $$

حال اگر $b\in (0,1)$ باشد آنگاه $\dfrac{1}{b} > 1$ تعریف میکنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{b^{\color{teal}{x}}:=\big(\dfrac{1}{b}\big)^{\color{teal}{-x}}}\tag{Def 7}$$

و تعریف میکنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x\in \mathbb{R}}\big) \ \ {(1)^{\color{teal}{x}}:=1}}\tag{Def 8}$$

و همچنین :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x\in \mathbb{R}^+}\big) \ \ {(0)^{\color{teal}{x}}:=0}}\tag{Def 9}$$

هر عبارت به صورت $\Large{x^\color{teal}{y}}$ را عبارت توانی استاندارد گوییم اگر در یکی از تعاریف$(1,2,3,...,9)$ صدق کند .


حال اگر $\Large{x^\color{teal}{n}},x^\color{teal}{m},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند .

آنگاه خواهیم داشت :

$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{x}^{\color{teal}{(n+m)}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({x}^{\color{teal}{m}})}}\tag{Law}$$ $$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x\cdot{y})}^{\color{teal}{n}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({y}^{\color{teal}{n}})}}\tag{Law}$$ $$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x^{\color{red}{m}})}^{\color{teal} {n}}={(x^{\color{teal}{n}})^{\color{red}{m}}}={x}^{(\color{teal}{n}\ \cdot \ \color{red}{m})}}}\tag{Law}$$
$$\large\mathscr{SADEGH \color{teal}{SADERI} MEHRAN}$$
دارای دیدگاه شهریور ۲, ۱۳۹۶ توسط
ویرایش شده شهریور ۲, ۱۳۹۶ توسط
با سلام خدمت همه دوستان و عزیزان محفل ریاضی .
با توجه به اینکه سولات در مورد توان و رادیکال خیلی زیاد هست . و هنوزم سوالات تکراری زیادی در این مورد میشه . بر خودم لازم دونستم که مبحثو کامل و با اصل موضوع بنویسم . تا تمام مشکلات حل شود .
در این پست با اصطلاحات جدیدی برخورد میکنید که در هیچ کتابی نیست . و تاحالا بیان نشده .برای راحتی و به خاطر سپردن این اصطلاحاتو نوشتم. و تعاریف هم جدید هستند . سعی کنید چند بار بخونید . و بعد تو همین محفل سوالات توان و رادیکال رو  رو بررسی کنید و جواب بدید .
و در اخر . این مطلب از هیچ کتاب و منبعی گرفته نشده . و همه مطلب توسط بنده (صادق صادری مهران )  نوشته شده . پس فقط با ذکر منبع میتوانید نشر کنید . و به دانش اموزانتون و یا دوستانتون منتقل کنید .
موفق و پیروز باشید .
یاعلی  .
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...