با توجه به $(\text{Axiom 3})\checkmark$ توانستیم عبارت توانی گویا را بسازیم .
$\checkmark$ به عنوان اصل پذیرفتیم که :
اگر :
$a^{\color{teal}{m}} \ \ \ \checkmark$ عبارت توانی صحیح باشد .
$ a^{\large{1/(\color{teal}{n})}} \ \ \ \checkmark $ عبارت رادیکالی باشد .
آنگاه :
$$\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\large{\big(a^{\large{1/(\color{teal}{n})}}\big)^m=\big( a^m\big)^{\large{1/(\color{teal}{n})}}=a^{\large{m/(\color{teal}{n})}}}=a^{\color{teal}{r}}: \color{teal}{r} \in \mathbb{Q}}
$$
میخواهیم عبارت توانی را بسط بدهیم به طوری که عبارت توانی گنگ هم داشته باشیم .
ابتدا حالت اول یعنی عبارت توانی گنگ با پایه یک را تعریف میکنیم .
قضیه زیر :
اگر $1^{r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \ {(1)^{\color{teal}{r}}:=1}}\tag{Law1}$$
به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه یک را به صورت زیر تعریف کنیم :
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\big) \ \ {(1)^{\color{teal}{x}}:=1}}\tag{Def 6}$$
حالت دوم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه صفر را تعریف میکنیم .
قضیه زیر :
اگر $0^{r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \ \ {(0)^{\color{teal}{r}}:=0}}\tag{Law2}$$
به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه صفر را به صورت زیر تعریف کنیم :
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x > 0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\big) \ \ {(0)^{\color{teal}{x}}:= 0}}\tag{Def 7}$$
حالت سوم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a > 1}$ را تعریف میکنیم .
قضیه زیر :
فرض کنید $\color{red}{a > 1} \in \mathbb{R} \ , \ x \in \mathbb{R}$ و دو مجموعه $\mathbb{Q}_{ > x} \ , \ \mathbb{Q}_{ < x }$ را به صورت زیر تعریف کنیم :
$$\mathbb{Q}_{ < x}:= \{r \in \mathbb{Q} , r < x \} \ \ , \ \ \mathbb{Q}_{ > x}:=\{r \in \mathbb{Q} , r > x\} $$
و همچنین تعریف کنیم :
$$
s_x =\color{teal}{\text{sup}}_{ r \in \mathbb{Q}_{ < x}} a^{r} \ , \ i_x =\color{teal}{\text{inf}}_{r \in\mathbb{Q}_{ > x}} a^{r}
$$
آنگاه خواهیم داشت :
$$ s_x=i_x$$
به علاوه اگر $ x \in \mathbb{Q} $ باشد خواهیم داشت :
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{s_x=i_x=\color{red}{a}^x}$$
به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a > 1}$ را به صورت زیر تعریف کنیم :
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \forall a>1 \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : s_x=i_x:=\color{red}{a}^x}\tag{Def 8}$$
حالت چهارم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{0 < a < 1}$ را تعریف میکنیم .
قضیه زیر :
اگر $a^{-r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ a^{\color{teal}{-r}}=\big(\dfrac{1}{a}\big)^\color{teal}{r}}\tag{Law 3} $$
به ما پیشنهاد میدهد که تعریف کنیم :
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big( \forall a > 0\in \mathbb{R} , x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\big) : a^{\color{teal}{-x}}:=\big(\dfrac{1}{a}\big)^\color{teal}{x}}\tag{Def 9} $$
حال اگر $b\in (0,1)$ باشد آنگاه $\dfrac{1}{b} > 1$ . در نتیجه با استفاده از تعریف $( 8,9)$ میتوانیم عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{0 < a < 1}$ را از قانون زیر بدست بیاوریم .
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{b^{\color{teal}{x}}=\big(\dfrac{1}{b}\big)^{-x}}\tag{Law 4}$$
حالت پنجم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a < 0}$ .
