به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
ارسال شده خرداد ۲۹, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط saderi7
ویرایش شده مهر ۱, ۱۳۹۶ توسط saderi7
147 بازدید

با توجه به $(\text{Axiom 3})\checkmark$ توانستیم عبارت توانی گویا را بسازیم .

$\checkmark$ به عنوان اصل پذیرفتیم که :

اگر :

$a^{\color{teal}{m}} \ \ \ \checkmark$ عبارت توانی صحیح باشد .

$ a^{\large{1/(\color{teal}{n})}} \ \ \ \checkmark $ عبارت رادیکالی باشد .

آنگاه :

$$\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\large{\big(a^{\large{1/(\color{teal}{n})}}\big)^m=\big( a^m\big)^{\large{1/(\color{teal}{n})}}=a^{\large{m/(\color{teal}{n})}}}=a^{\color{teal}{r}}: \color{teal}{r} \in \mathbb{Q}} $$

میخواهیم عبارت توانی را بسط بدهیم به طوری که عبارت توانی گنگ هم داشته باشیم .

ابتدا حالت اول یعنی عبارت توانی گنگ با پایه یک را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

اگر $1^{r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \ {(1)^{\color{teal}{r}}:=1}}\tag{Law1}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه یک را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\big) \ \ {(1)^{\color{teal}{x}}:=1}}\tag{Def 6}$$

حالت دوم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه صفر را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

اگر $0^{r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \ \ {(0)^{\color{teal}{r}}:=0}}\tag{Law2}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه صفر را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x > 0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\big) \ \ {(0)^{\color{teal}{x}}:= 0}}\tag{Def 7}$$

حالت سوم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a > 1}$ را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

فرض کنید $\color{red}{a > 1} \in \mathbb{R} \ , \ x \in \mathbb{R}$ و دو مجموعه $\mathbb{Q}_{ > x} \ , \ \mathbb{Q}_{ < x }$ را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\mathbb{Q}_{ < x}:= \{r \in \mathbb{Q} , r < x \} \ \ , \ \ \mathbb{Q}_{ > x}:=\{r \in \mathbb{Q} , r > x\} $$

و همچنین تعریف کنیم :

$$ s_x =\color{teal}{\text{sup}}_{ r \in \mathbb{Q}_{ < x}} a^{r} \ , \ i_x =\color{teal}{\text{inf}}_{r \in\mathbb{Q}_{ > x}} a^{r} $$

آنگاه خواهیم داشت :

$$ s_x=i_x$$

به علاوه اگر $ x \in \mathbb{Q} $ باشد خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{s_x=i_x=\color{red}{a}^x}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a > 1}$ را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \forall a>1 \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : s_x=i_x:=\color{red}{a}^x}\tag{Def 8}$$

حالت چهارم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{0 < a < 1}$ را تعریف میکنیم .

قضیه زیر : اگر $a^{-r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ a^{\color{teal}{-r}}=\big(\dfrac{1}{a}\big)^\color{teal}{r}}\tag{Law 3} $$

به ما پیشنهاد میدهد که تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big( \forall a > 0\in \mathbb{R} , x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\big) : a^{\color{teal}{-x}}:=\big(\dfrac{1}{a}\big)^\color{teal}{x}}\tag{Def 9} $$

حال اگر $b\in (0,1)$ باشد آنگاه $\dfrac{1}{b} > 1$ . در نتیجه با استفاده از تعریف $( 8,9)$ میتوانیم عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{0 < a < 1}$ را از قانون زیر بدست بیاوریم .

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{b^{\color{teal}{x}}=\big(\dfrac{1}{b}\big)^{-x}}\tag{Law 4}$$

حالت پنجم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a < 0}$ .

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...