به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
ارسال شده خرداد ۲۹, ۱۳۹۶ در مطالب ریاضی توسط
ویرایش شده مهر ۱, ۱۳۹۶ توسط
133 بازدید

با توجه به $(\text{Axiom 3})\checkmark$ توانستیم عبارت توانی گویا را بسازیم .

$\checkmark$ به عنوان اصل پذیرفتیم که :

اگر :

$a^{\color{teal}{m}} \ \ \ \checkmark$ عبارت توانی صحیح باشد .

$ a^{\large{1/(\color{teal}{n})}} \ \ \ \checkmark $ عبارت رادیکالی باشد .

آنگاه :

$$\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\large{\big(a^{\large{1/(\color{teal}{n})}}\big)^m=\big( a^m\big)^{\large{1/(\color{teal}{n})}}=a^{\large{m/(\color{teal}{n})}}}=a^{\color{teal}{r}}: \color{teal}{r} \in \mathbb{Q}} $$

میخواهیم عبارت توانی را بسط بدهیم به طوری که عبارت توانی گنگ هم داشته باشیم .

ابتدا حالت اول یعنی عبارت توانی گنگ با پایه یک را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

اگر $1^{r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \ {(1)^{\color{teal}{r}}:=1}}\tag{Law1}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه یک را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\big) \ \ {(1)^{\color{teal}{x}}:=1}}\tag{Def 6}$$

حالت دوم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه صفر را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

اگر $0^{r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \ \ {(0)^{\color{teal}{r}}:=0}}\tag{Law2}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه صفر را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x > 0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\big) \ \ {(0)^{\color{teal}{x}}:= 0}}\tag{Def 7}$$

حالت سوم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a > 1}$ را تعریف میکنیم .

قضیه زیر :

فرض کنید $\color{red}{a > 1} \in \mathbb{R} \ , \ x \in \mathbb{R}$ و دو مجموعه $\mathbb{Q}_{ > x} \ , \ \mathbb{Q}_{ < x }$ را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\mathbb{Q}_{ < x}:= \{r \in \mathbb{Q} , r < x \} \ \ , \ \ \mathbb{Q}_{ > x}:=\{r \in \mathbb{Q} , r > x\} $$

و همچنین تعریف کنیم :

$$ s_x =\color{teal}{\text{sup}}_{ r \in \mathbb{Q}_{ < x}} a^{r} \ , \ i_x =\color{teal}{\text{inf}}_{r \in\mathbb{Q}_{ > x}} a^{r} $$

آنگاه خواهیم داشت :

$$ s_x=i_x$$

به علاوه اگر $ x \in \mathbb{Q} $ باشد خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{s_x=i_x=\color{red}{a}^x}$$

به ما پیشنهاد میدهد که عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a > 1}$ را به صورت زیر تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ \forall a>1 \in \mathbb{R} , x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : s_x=i_x:=\color{red}{a}^x}\tag{Def 8}$$

حالت چهارم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{0 < a < 1}$ را تعریف میکنیم .

قضیه زیر : اگر $a^{-r}$ عبارت توانی گویا باشد آنگاه خواهیم داشت :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{ a^{\color{teal}{-r}}=\big(\dfrac{1}{a}\big)^\color{teal}{r}}\tag{Law 3} $$

به ما پیشنهاد میدهد که تعریف کنیم :

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big( \forall a > 0\in \mathbb{R} , x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\big) : a^{\color{teal}{-x}}:=\big(\dfrac{1}{a}\big)^\color{teal}{x}}\tag{Def 9} $$

حال اگر $b\in (0,1)$ باشد آنگاه $\dfrac{1}{b} > 1$ . در نتیجه با استفاده از تعریف $( 8,9)$ میتوانیم عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{0 < a < 1}$ را از قانون زیر بدست بیاوریم .

$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{b^{\color{teal}{x}}=\big(\dfrac{1}{b}\big)^{-x}}\tag{Law 4}$$

حالت پنجم یعنی عبارت توانی گنگ با پایه $\color{red}{a < 0}$ .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...