$$\bbox[10px, border:1px solid #4682B4]{-1=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=((-1)^2)^{1/6}=1}$$
مشکل کجاست ؟ چرا منفی یک برابر یک شد ؟ کدام اصل ها و کدام تعاریف را اشتباه بیان کردیم ؟
ابتدا بیاید قوانین توان رو یاد آوری کنیم :
اگر $\Large{x^\color{teal}{n}},x^\color{teal}{m},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند .
آنگاه خواهیم داشت :
$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{x}^{\color{teal}{(n+m)}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({x}^{\color{teal}{m}})}}\tag{Law}$$
$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x\cdot{y})}^{\color{teal}{n}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({y}^{\color{teal}{n}})}}\tag{Law}$$
$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid teal]{{(x^{\color{red}{m}})}^{\color{teal}
{n}}={(x^{\color{teal}{n}})^{\color{red}{m}}}={x}^{(\color{teal}{n}\ \cdot \ \color{red}{m})}}}\tag{Law}$$
چیزی که در اینجا خیلی مهم است این است که شرط گذاشتیم که اگر $\Large{x^\color{teal}{n}},x^\color{teal}{m},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند . آنگاه قوانین برقرار هستند . حال به سوال ابتدا برمیگردیم :
$$\bbox[10px, border:1px solid #4682B4]{-1=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=((-1)^2)^{1/6}=1}$$
چگونه جمله سوم از عبارت بالا را به جمله چهارم تبدیل کردیم ؟ جواب شما با توجه به قانون سوم .
جواب من : اشتباه است چون شرط گذاشتیم اگر عبارت توانی استاندارد باشد قوانین برقرار است .
$(-1)^{2/6}$ رو در نظر بگیرید . $(-1)^{2}$ عبارت توانی استاندارد است .
اما $ (-1)^{1/6}$ عبارت توانی استاندارد نیست . در نتیجه نمیتوانیم از قوانین توان استفاده کنیم یعنی :
$$(-1)^{2/6}\neq ((-1)^2)^{1/6}$$
پس ما در قوانین و تعاریف و اصل هایی که گفتیم اشتباهی نکردیم مشکل در استفاده نادرست از قوانین بود .
و چیزی دیگر دو عبارت $(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}$ با هم برابر هستند اما این دو عبارت با عبارت $((-1)^2)^{1/6}$ برابر نیستند. یعنی :
$$(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}\neq ((-1)^2)^{1/6}$$
