پس از دیدن چند پرسش به تازگی پرسیدهشده به یاد بایگانیِ برخطی از دنبالههای عددهای طبیعی افتادم که زمانی که هنوز در ایران بودم و پیش از دورهٔ دکترایم از یکی از استادهای گذشتهام (آقای رضا کهکشانی) در موردش شنیده بودم. آدرس الکترونیکی این پایگاه دادهای که قابلیت جستجو نیز دارد oeis.org است. نام این سایت از کنار هم گذاشتن چند حرف در عبارت انگلیسی
the Online Encylopedia of Integer Sequence
است به معنای «دایرةالمعارفِ برخطِ دنبالههای عددهای صحیح». در نوار باریکی که زیر جملهٔ
Enter a sequence, word, or a sequence number
قرار دارد، چند جملهٔ نخست دنبالهتان را بنویسید و با ویرگول آنها را جدا کنید. برای نمونه بیایید جملههای نخست دنبالهٔ آمده در یکی از پرسشهای همین سایت، https://math.irancircle.com/17748/، را در این موتور جستجو بنویسیم. پس تایپ میکنم 1,3,6,8,11,13,16 و سپس دکمهٔ Enter را میزنم. در تاریخ امروز یعنی ۱۹ خرداد ۱۳۹۹، برای این جستجو ۹ نتیجه میآورد. هر نتیجه یک نام دارد که نقش شمارهٔ شناسایی این دنباله را در این پایگاه داده را ایفا میکند. برای نمونه A047219 و سپس یک عنوان که بیانگر مختصری از نحوهٔ تعریف این دنباله است. برای دنبالهای که شناسهاش را آوردیم این نوشته شدهاست؛
Numbers that are congruent to {1, 3} mod 5.
که یعنی «عددهایی که به پیمانهٔ ۵ همنهشت با ۱ و ۳ هستند». و البته با ترتیب بزرگتری چیده شدهاند. سپس چندین عضو نخستش را نوشته است؛
1, 3, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 21, 23, 26, 28, 31, 33, 36, 38, 41, 43, 46, 48, 51, 53, 56, 58, 61, 63, 66, 68, 71, 73, 76, 78, 81, 83, 86, 88, 91, 93, 96, 98, 101, 103, 106, 108, 111, 113, 116, 118, 121, 123, 126, 128, 131, 133, 136, 138, 141, 143, 146, 148 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
که البته روی واژههای list، graph، refs، listen، history، text، internal format میتوانید کلیک کنید که هر کدام کاری را که معنایشان میگوید را میکند. list به شما یک لیست میدهد که $n$ها را سطری با مقدار $a_n$ مقابلش در یک صفحه نشان میدهد. graph به شما نمودار میدهد (میلهای و نقطهای) که روی محور $x$ها عددهای طبیعی اندیسگذار از ۱ تا یک عددی هستند یعنی $n$ و محور $y$ها متناسب با مقدار است پس نقطهها (یا انتهای میلهها) نقطههای $(n,a_n)$ هستند. refs جاهایی که به این دنباله ارجاع دادهشدهاست را از خود بایگانی برایتان فهرست میکند. listen بوسیلهٔ برخی وسایل یا پدیدههای صوتی برایتان دنباله را مینوازد مثلا با پیانو یا صدای رعدوبرق، البته چون پسوند نوع فایل صوتی .mid است ممکن است نتوانید اجرا و گوشش کنید. history و internal format مربوط به تاریخ و ویرایش مطلب مربوطه در خود این سایت است (مربوط به تاریخچه علمی و غیره نیست).
بخشهای جالب دیگری نیز میتوانید ببینید (وابسته به اینکه نویسنده یا نویسندههای این پست برای این سایت تا چه حد داده و مطلب در این مورد وارد کردهباشند). برای نمونه برای این سایت قسمتی عنوان Mathematica دارد که یعنی کُدی که با انجامش در نرمافزار Mathematica این دنباله را میتوانید تعریف کنید. برای این دنباله این کُد در این سایت گذاشتهشدهاست؛
Select[Range[0, 200], MemberQ[{1, 3}, Mod[#, 5]] &]
که در واقع این کد عددهای طبیعی بین ۰ تا ۲۰۰ را یکی یکی از کوچک به بزرگ برمیدارد و به پیمانهٔ ۵ محاسبه میکند. اگر ۱ یا ۳ دید، آن عدد را نگه میدارد و گر نه آن را دور میریزد. پس در واقع ایدهٔ این یک حط کُد غربال کردن عددهای ۰ تا ۲۰۰ به پیمانهٔ ۵ است با توجه به یک سری باقیماندهٔ مطلوب. پس خیلی راحت الآن میتوانید با تغییر کران بالا تا جملههای بیشتری را ببینید یا با تغییر پیمانه یا باقیماندهها دنبالههای متفاوتی ولی با ایدهٔ مشابهی را تولید کنید. یک کاری که در این سایت صورت میگیرد این است که نام فردی که چیزی را وارد میذکند و تاریخ وارد کردن را ثبت میکند پس در صورت وجود مشکل میذتوان به آن فرد مراجعه کرد یا در صورت تغییر نسخههای نرمافزار میتوانید بدانید که آیا دستور قدیمیاست یا خیر (گاهی دستوری که امروز در یک نرمافزار وارد میکنید بعد از چند سال قراردادهایش متفاوت میشود و باید برخی کلمههایش یا تریتبیش را عوض کنید، پس مهم است که بدانید دستور متناسب با چه زمانی نوشته شدهاست). و یا اینکه ارزش کار یا ایدهٔ فردی برایش حفظ میشود.
چیز دیگری که میتوانید ببینید بخشی است با نام formula که در مقابلش چندین ضابطه برای جمله عمومی دنباله آوردهشدهاست. برای نمونه ۳ تا از ضابطههایی که برای این دنباله در این سایت یاد شدهاند را در زیر آوردهایم.
$$\begin{align}
a_n &= [\frac{5n-3}{2}]\\
a_n &= 5n-a_{n-1}-6,\quad a_1=1\\
a_n &= 2n+[\frac{n-1}{2}]-1
\end{align}$$
دو ضابطهٔ جزءصحیحدار و یک ضابطهٔ بازگشتی. توجه کنید که اگر از این سایت در جایی استفاده میکنید حتما به آن ارجاعدهی کنید. مطالب دنبالهٔ A047219 را از آدرس oeis.org/A047219 برداشتهایم. توجه کنید که این سایت به چندین زبان دنیا ترجمه و در دسترس است (هر چند از جزئیات و میزان صحت ترجمهاش اطلاعی ندارم). کافیست در زیر صفحهٔ اصلی از بین زبانهای آمده مثلا «فارسی» را انتخاب کنید.
خودتان میتوانید نگاه کنید که ۸ دنبالهٔ دیگری که با ۷ جملهٔ نخستِ بالایمان در این پایگاه وجود دارد چه هستند و یا اینکه دنبالههای دیگری را جستجو کنید.
